ทั่วไป

คือ ว่าง ๆ อยู่เลยลองกดปุ่ม "NEXT BLOG" ที่อยู่มุมบนขวาของหน้านี้ ... เจออะไรแปลก ๆ เอามาให้ดูเป็นตัวอย่าง

http://batteriesblog.blogspot.com/
http://get-laptop-info.blogspot.com/
http://dvdistheperfectgiftanytime.blogspot.com/
http://zpqpe.blogspot.com/
http://gunsguns56.blogspot.com/
http://newsurveillanceonline.blogspot.com/

มีแบบนี้อีกเยอะเลย ... เข้าใจหาเนื้อที่บน internet เนอะ

เรื่องดนตรี - Scale

ก่อนอื่น ขอเพิ่มสัญลักษณ์เพื่อความง่ายในการเขียนนิดนึงนะ

ถ้า P = [p] เป็น pitch class แล้ว P + n = [p + n] เมื่อ n เป็นจำนวนจริง

คราวที่แล้วพูดถึง pitch และ pitch class ไปแล้ว คราวนี้จะพูดถึง บันไดเสียง หรือ Scale หล่ะนะ

ถ้า S เป็นเซตของ pitch เราจะเรียก S ว่าเป็น Scale ก็ต่อเมื่อ
- สำหรับทุก pitch p ถ้า p ∈ S แล้ว [p] ⊆ S

ต่อไปนี้ คือบันไดเสียงที่มันค่อนข้างตรง sense ของมนุษย์นะ

บันไดเสียงเมเจอร์ (Major Scale)

กำหนดให้ P เป็น pitch class เราจะเรียก
MScale(P) = P ∪ (P + 1) ∪ (P + 2) ∪ (P + 2.5) ∪ (P + 3.5) ∪ (P + 4.5) ∪ (P + 5.5)
ว่าเป็น P Major Scale

ถามเล่น ๆ: ลองพิสูจน์ซิว่า P Major Scale เป็น Scale

เดี๋ยวแป๊บนึง ... ขอกำหนดข้อตกลงของสัญลักษณ์เพิ่มอีกนิดนึงก่อน

[P₁, P₂, P₃, ..., P_n] = P₁ ∪ P₂ ∪ P₃ ∪ ... ∪ P_n

คราวนี้ จะเขียนได้แล้วว่า

MScale(P) = [P, P + 1, P + 2, P + 2.5, P + 3.5, P + 4.5, P + 5.5]

ลองดูตัวอย่างเพื่อให้เข้าใจมากขึ้นนะ

MScale(C) = [C, D, E, F, G, A, B]
MScale(A^b) = [A^b, B^b, C, D^b, E^b, F, G]

เอาหละ อีก 3 scale ละกัน

บันไดเสียงไมเนอร์ (Minor Scale) 3 ชนิด

กำหนดให้ P เป็น pitch class

1. nmScale(P) = [P, P + 1, P + 1.5, P + 2.5, P + 3.5, P + 4, P + 5] คือ P Natural Minor Scale
2. hmScale(P) = [P, P + 1, P + 1.5, P + 2.5, P + 3.5, P + 4, P + 5.5] คือ P Harmonic Minor Scale
3. amScale(P) = [P, P + 1, P + 1.5, P + 2.5, P + 3.5, P + 4.5, P + 5.5] คือ P Ascending Melodic Minor Scale
4. nmScale(P) อาจเรียกได้อีกชื่อนึง ก็คือ P Descending Melodic Minor Scale และอาจะเขียนแทนด้วย dmScale(P)

ตัวอย่างละกัน

MScale(B^b) = [B^b, C, D, E^b, F, G, A]
amScale(B^b) = [B^b, C, D^b, E^b, F, G, A]
dmScale(B^b) = [B^b, C, D^b, E^b, F, G^b, A^b] = nmScale(B^b)
hmScale(B^b) = [B^b, C, D^b, E^b, F, G^b, A]

ถ้าสังเกตดี ๆ จะเห็นว่า

nmScale(P) = MScale(P + 1.5)

ตัวอย่างเช่น

nmScale(A) = MScale(C)
nmScale(F^#) = MScale(A)
nmScale(E^b) = MScale(F^#)
nmScale(C) = MScale(E^b)

แล้วมาต่อเรื่องตัวโน้ตกันคราวหน้านะ

Discrete vs Continuous: 1 + 4 + 9 + 16 + ... (ภาคสอง)

เดี๋ยวจะมีสัญลักษณ์ใหม่อีกตัวนึงนะ ขอเริ่มจากวิธีคิด slope ของฟังก์ชันก่อนนะ

จะเห็นว่า เมื่อให้ Δx → 0 เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า อนุพันธ์ของ f(x) (เทียบกับ x)

แล้วก็ให้ Δx → 1 หละ? สมการแรกก็จะกลายเป็น...

ตัวนี้แหละ ที่เราจะเอามาคิดกันต่อ

จากวิชาแคลคูลัส เรารู้ว่า

คราวนี้ลองหาผลบวกของ Δf(x) ดู (ถ้าใครจำ Σ ไม่ได้ ลองกลับไปดูตอนเก่า ๆ นะ)

จะพอสังเกตเห็นได้ว่า...

1. แบบ Continuous: dy/dx → ผลต่าง, ∫y dx → ผลรวม
2. แบบ Discrete: Δy → ผลต่าง, Σy δx → ผลรวม

แล้ววิธีประยุกต์หละ? ลองกลับไปดูชื่อของหัวข้อนี้สิ :P เราจะหา 1² + 2² + 3² + ... + n² อีกรอบ แต่วิธีไม่เหมือนกันนะ

เริ่มจาก หาผลต่างของ f(x) = x³ ก่อน...

คราวนี้ ก็ใส่ Σ เข้าไปทั้งสองข้างเลย

ถูกแล้วหละ เพราะได้สูตรเดิมอีกแล้ว คือ

1² + 2² + 3² + ... + (n - 1)² = n(n - 1)(2n - 1)/6

ซึ่งมันแปลว่า

1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

น่ะแหละ

เรื่องดนตรี - Pitch และ Pitch Class

มีหลายคนบอกให้เขียนเรื่องเกี่ยวกับดนตรี ก็เอาซะเลยละกัน ขอเริ่มจากพื้นฐานเลยหละนะ คนที่ไม่เคยรู้จะได้อ่านได้

ตอนนี้จะค่อย ๆ ให้นิยามของคำศัพท์ไปเรื่อย ๆ นะ

Pitch = ความถี่ของคลื่นเสียง

หน่วยของ pitch จะนิยมใช้อยู่ 2 หน่วยคือ Hz กับ ขั้นเสียง (6log₂Hz) การแปลงหน่วยจากขั้นเสียงเป็น Hz ทำได้ตามสมการ

s ขั้นเสียง = 2^s/6 Hz

แล้วก็ มีอีกหน่วยนึง เรียกว่า Octave คิดว่าหลายคนคงรู้จักอยู่แล้วหละ

1 Octave = 6 ขั้นเสียง

pitch ที่เรียกว่า "Middle C" มีความถี่ประมาณ 261.63 Hz (48.188 ขั้นเสียง) ต่อไปนี้เราจะเขียน C₄ แทน Middle C นะ

C D E F G A B

ตัวอักษรทั้ง 7 ตัวนี้ คาดว่าหลาย ๆ คนคงรู้จักแล้วหละ ในตอนนี้เราจะพูดถึงความหมายของตัวอักษรพวกนี้ในเรื่องของ pitch ก่อน

เพื่อให้ง่ายกับการเขียนต่อ ๆ ไป pitch ที่ใช้ถือว่าอยู่ในหน่วยขั้นเสียงนะ ดังนั้น x = y + 1 ก็จะหมายถึงว่า x สูงกว่า y อยู่ 1 ขั้นเสียง ต่อไปนี้เป็นนิยามของ "ตัวโน้ต"

1. A₄ = 440.00 Hz = 52.688 ขั้นเสียง (สังเกตว่า A₄ = C₄ + 4.5 ขั้นเสียง)
   
2. D_n = C_n + 1
3. E_n = D_n + 1
4. F_n = E_n + 0.5
5. G_n = F_n + 1
6. A_n = G_n + 1
7. B_n = A_n + 1
8. C_n+1 = B_n + 0.5
   

จะเห็นว่า C_n+1 = C_n + 6 ซึ่งแปลว่า C_n+1 สูงกว่า C_n อยู่ 1 octave (D E F G A B ก็มีความสัมพันธ์แบบนี้เหมือนกัน)

ตารางความถี่ของ pitch พวกนี้ ดูได้ "ที่นี่" นะ

Sharp (#), Flat (b), Double Sharp (x), Double Flat (bb)

นิยามเลยละกัน

ให้ p เป็น pitch (ในหน่วยขั้นเสียง)
p^# = p + 0.5
p^b = p - 0.5
p^x = p + 1
p^bb = p - 1

เช่น C₄^# (อาจจะเขียนเป็น C^#₄) จะเท่ากับ D₄^b (D^b₄) เพราะว่า

C₄^# = C₄ + 0.5
D₄ = C₄ + 1
ดังนั้น D₄^b = (C₄ + 1) - 0.5 = C₄ + 0.5 = C₄^#

Pitch Class

ถ้า p เป็น pitch (ในหน่วยขั้นเสียง) เราจะเขียน [p] แทน Pitch Class ของ p ซึ่งมีนิยามคือ

[p] = { q | q ≡ p (mod 6) }

บางที เราก็นิยมเขียนตัว C D E F G A B โดด ๆ แบบไม่มีเลขห้อย เพื่อหมายถึง pitch class ตัวอย่างเช่น

C = [C₁] = [C₂] = [C₃] = ...
F^# = [F₁^#] = [F₂^#] = [F₃^#] = ...

จบแค่นี้ก่อนละกัน คราวหน้ามาต่อเรื่อง scale

เอาเรื่องฟิสิกส์มั่ง - อีกคำถามก่อนสรุป

คราวที่แล้วถามว่า...

อันไหนไปถึงก่อน หรือว่าพร้อมกัน หรือว่าสรุปไม่ได้? ... คำตอบก็คือ B ไปถึงก่อน อย่างที่มีคน post ไว้ใน comment คราวที่แล้ว (ใครที่ยังไม่รู้เหตุผล ลองมองเฉพาะการกระจัดและความเร็วในแนวราบสิ ... ถ้ายังคิดไม่ออกอีกก็รอตอนหน้าละกัน)

แล้วถ้ารูปมันเป็นหยั่งงี้หละ?

จะตอบว่า B ไปถึงก่อน หรือว่า สรุปไม่ได้?...คาดว่าคงมีคนเดาถูกเยอะกว่าข้อที่แล้วนะ เพราะมันเหลือแค่ 2 ตัวเลือก :P

คิดเล่น ๆ กันไปก่อน ... ไว้จะมาสรุปทฤษฎี (แบบ general) ให้อีกทีนะ

มองเอา: 1 + 3 + 5 + 7 + ...

จาก 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2
เราก็คงจะหา 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) ได้ไม่ยาก

แต่รูปข้างล่างนี่ คือวิธีคิดอีกแบบ

ที่จะให้ดูก็มีแค่นี้แหละ

Synonym ของคำศัพท์เกี่ยวกับศาสนาและเทพเจ้า (ชุดแรก รอบสอง)

จำได้ว่า post ไปทีนึงแล้ว ทำไมมันหายก็ไม่รู้อ่า T_T เยอะด้วย ... ไม่เป็นไร เอาใหม่ละกัน

ต่อไปนี้เป็นคำที่แปลว่า "ศักดิ์สิทธิ์" หรือ "ควรบูชา" นะ (adj ทุกตัว)

• beatified (beatify)
• consecrated* (consecrate)
• godlike (god)
• holy
• reverent* (revere)
• sacred
• sanctified (sanctify, sanctum, sanction)
• worshipful (worship)

คำที่แปลว่า "เกี่ยวกับสวรรค์" หรือ "เกี่ยวกับพระเจ้า" ก็มี

• celestial* - จะแปลว่าเกี่ยวกับท้องฟ้าก็ได้
• divine
• elysian - เคยเขียนเรื่อง Elysian Fields แล้วนะ เรื่องแรก ๆ เลย
• ethereal* - มีอีกความหมายนึงคือ "โปร่ง เบา" เหมือนวิญญาณ
  
• godly (god)
• heavenly (heaven)
• paradisal/paradisaic/paradisiac (paradise)
• supernal - แปลว่า "มาจากเบื้องบน" หละ

แล้วก็ คำที่แปลว่า "ยึดมั่นในศาสนา" หรือ "เชื่อในเทพเจ้า"

• churchgoing (church, go)
  
• devout
• pious* (piety)
  
• religious (religion)
  

เอาแค่นี้ก่อนละกันนะ มีอีกเยอะเลย ไว้มาต่อทีหลัง

สรุป:

beatify (v) = bless | render holy
consecrate (v) = devote | render holy
revere (v) = respect deeply
sanctify (v) = purify, render holy

celestial body (n) = สิ่งที่อยู่ในอวกาศ เช่น ดาวฤกษ์ ดาวหาง เควซาร์ ฯลฯ
elysium (n) = สวรรค์ (ดูรายละเอียดในเรื่องที่เคยเขียนไปแล้วนะ อยู่แรก ๆ เลย)
supernal (adj) = มาจากเบื้องบน

devout (adj) = very religious
pious (adj) = devout
piety (n) = piousness

เอาเรื่องฟิสิกส์มั่ง - โจทย์ม.ปลาย

เพื่อเพิ่มความหลากหลายให้กับ blog นี้ คราวนี้มาดูโจทย์ฟิสิกส์กันบ้างดีกว่าเนอะ

โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ที่ผมเคยออกให้กับข้อสอบ CU-FET เมื่อสี่ปีที่แล้ว ดังนั้น เพื่อน ๆ ที่ช่วยกันออกข้อสอบตอนนั้น ไม่ต้องมานั่งอ่านก็ได้ คงรู้กันหมดแล้ว :P

โจทย์มีอยู่ว่า มีวัตถุกำลังเคลื่อนที่จากทางซ้ายของรูปไปทางขวาด้วยความเร็วต้น u

ถามว่า การเคลื่อนที่ไปตามแนว A หรือ B จะใช้เวลาน้อยกว่ากัน ถ้าวัตถุไม่หลุดออกจากราง และไม่มีการสูญเสียพลังงาน (ความเร็วปลายจะเท่ากันทั้ง A และ B)

มี Choice ให้เลือกอยู่ 4 ข้อ คือ

1. A ใช้เวลาน้อยกว่า
2. B ใช้เวลาน้อยกว่า
3. ใช้เวลาเท่ากันทั้งสองแนว
4. สรุปไม่ได้

Discrete vs Continuous: 1 + 4 + 9 + 16 + ... (ภาคแรก)

คราวที่แล้ว เราใช้วิธีมองกราฟเพื่อพิสูจน์ว่า

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

คราวนี้เราจะใช้วิธีเดียวกันอีกทีนึง เพื่อพิสูจน์ว่า

1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

ไม่พูดมากละกัน ดูรูปเอา

จะเห็นว่า ในแต่ละช่อง จะมีผลต่างของอินทิกรัลกับผลบวกอยู่ สมการของค่าที่เราต้องการก็จะเป็น

summation = integral - error

นี่หละ ตัวอย่างการประยุกต์ใช้แนวคิด "มองจากกราฟ"

ถ้าไปทดลองต่อ จะเห็นว่าเราสามารถขยายสูตรของผลบวกของ x^d เมื่อ x ∈ {1, 2, ..., n } ได้เรื่อย ๆ ด้วยวิธีการมองจากกราฟ ไม่ว่า d จะเป็นเท่าไหร่ก็ตาม (แต่ต้องเป็นจำนวนเต็มบวกนะ)

คราวหน้าจะพูดถึง "ผลต่าง" บ้างละ ... แล้วเราก็จะพิสูจน์สูตรนี้ได้ด้วยอีกวิธีนึง ซึ่งเร็วกว่าวิธีนี้ แต่ต้องใช้ความรู้มากกว่านิดหน่อยนะ

Intania Music Contest

วันนี้กลับบ้านดึกไปหน่อย เลยเขียนเรื่องที่ต้องวาดรูปไม่ทันเที่ยงคืน :D ขอเล่าเรื่องที่ทำให้กลับบ้านดึกแทนละกัน

ไปงาน Intania Music Contest รอบชิงมาน่ะครับ วงน้อง ๆ เล่นกันทั้งหมด 8 เพลง แต่ได้ฟังแค่ครึ่งหลัง T_T รู้สึกว่าน้อง ๆ เล่นกันเลอะเทอะไปหน่อย สงสัยจะเป็นเพราะระบบเสียงของห้องประชุมมันไม่ดีมั้ง ที่รู้สึกติดใจมากที่สุดคือเพลงของ Saint Seya นะ

หลังจากน้อง ๆ เล่นกันเสร็จแล้ว ก็มีวงมาเล่นต่อตั้ง 4 วงแหนะ วงแรกชื่อ Rhythmatic (สะกดงี้มั้ง) รู้สึกว่าจะเล่นดนตรีกลบเสียงร้องน้อยกว่าที่น้อง ๆ เล่นกัน แต่ไม่ขอวิจารณ์มากกว่านี้ดีกว่า ... :P

ต่อมาก็เป็น Angie & The Pussy Catz รู้สึกว่าวงนี้ค่อนข้างน่าฟังเหมือนกันนะ นักร้องก็ใช้ได้ (ถึงแม้จะเพี้ยนสูงเยอะไปนิด) แถมยังมีคนเล่น Saxophone ตั้ง 2 คนแหนะ เก่งด้วย อยากลองฟังก็จิ้ม!

แล้วก็ Scrub ... วงนี้นิสิตรู้จักกัน ก็เลยได้รับการตอบรับดี รู้สึกว่านักร้องตอนแรก ๆ จะไม่ค่อยพร้อม แต่พอร้องไปได้ซัก 2 เพลงก็เริ่มร้องตรงคีย์มากขึ้น ...

สุดท้ายก็คือ Highlight ของงานนะครับ วง Crescendo รู้สึกว่าเค้าก็เล่นกันดีเหมือนกันนะ (ดีที่สุดในวันนี้หละ) พอวงนี้เล่น ก็ชักไม่แน่ใจแล้วว่าระบบเสียงมันไม่ดีจริงรึเปล่า นักร้องก็เสียงดี แถมยังไม่โดนดนตรีกลบ นักดนตรีก็เล่นเข้ากัน อ้อ แล้วก็วงนี้เค้าไม่ได้เล่นแต่เพลงของตัวเองนะ ยังเล่นเพลงของคนอื่นให้ฟังด้วย :D ปิดท้ายเค้าเล่นเพลงที่จะอยู่ในอัลบั้มหน้าให้ฟังด้วย (แต่รู้สึกจะลืม ๆ ไปแล้วว่ามันเป็นไง ... 4-5-3-6-2-5-1 รึเปล่าน้า... คงไม่มั้ง :P)

จบแล้ว เหตุการณ์วันนี้ ... ดูเหมือนพยายามจะทำ blog นี้ให้เป็น "blog ปกติ" นิดนึงรึเปล่า 555

ตามหาความหมายของ Determinant: Linear Combination

มาตามหาความหมายของ Matrix และ Determinant กันต่อนะ ขอทวนของเก่านิดนึง ...

ทำรูปให้ดูได้ถึงแค่ 3 มิติอะ พอถึง 4 มิติก็ไม่รู้จะวาดไง (ไม่รู้จะเรียกว่าอะไรด้วย) แต่แนวคิดก็ยังใช้ได้เหมือนกันนะ

ผลรวมเชิงเส้น (Linear Combination) ของ u กับ v ในกรณี 2 มิติ ก็คือ vector ที่เขียนได้ในรูป

au + bv เมื่อ a, b ∈ R

จะเห็นว่า Linear Combination ของ u กับ v มีอยู่มากมายนับไม่ถ้วน (เพราะ R เป็นเซตที่นับไม่ได้)

เซตของ Linear Combination ทั้งหมดของ u กับ v จะเขียนแทนด้วย

span(u, v) = { au + bv | a, b ∈ R }

รูปข้างล่างนี่ จะเห็นว่า u กับ v ทำให้เกิดระบบพิกัดใหม่ จากเดิมที่ใช้ x กับ y ก็กลายเป็น a กับ b

แต่มีกรณีนึง ที่ u กับ v ไม่ทำให้เกิดระบบพิกัดใหม่ ก็คือ เมื่อ u กับ v มีทิศทางเดียวกัน ซึ่งจะทำให้

| u : v | = 0

เราก็เลยสรุปได้ว่า

span(u, v) = R² ก็ต่อเมื่อ | u : v | ≠ 0

จะ 3 มิติก็เหมือนกัน

span(u, v, w) = R³ ก็ต่อเมื่อ | u : v : w | ≠ 0

และไม่ว่าจะกี่มิติก็ตาม

span(u₁, u₂, u₃, ..., u_n) = Rⁿ ก็ต่อเมื่อ | u₁ : u₂ : u₃ : ... : u_n | ≠ 0

เสริมนิดนึง

ถ้ากำหนด uspan (Unit Span) สำหรับกรณี 2 มิติให้เป็น

uspan(u, v) = { au + bv | a, b ∈ (0, 1) }

ก็จะเห็นว่า

พื้นที่ของ uspan(u, v) = | u : v |

และ

uspan(u, v) ≠ ∅ ก็ต่อเมื่อ span(u, v) = R²

กรณี 3 มิติ ก็เหมือนกัน คือ

ปริมาตรของ uspan(u, v, w) = | u : v : w |

uspan(u, v, w) ≠ ∅ ก็ต่อเมื่อ span(u, v, w) = R³

และ ... ในกรณี n มิติ (วาดรูปไม่ได้อีกแล้วอ่า)

ปริมาณ n มิติของ uspan(u₁, u₂, u₃, ..., u_n) = | u₁ : u₂ : u₃ : ... : u_n |
uspan(u₁, u₂, u₃, ..., u_n) ≠ ∅ ก็ต่อเมื่อ span(u₁, u₂, u₃, ..., u_n) = Rⁿ

จบจ้า ... แล้วตกลงรู้ความหมายของ det รึยังหละเนี่ย ... :P

Discrete vs Continuous: พื้นฐาน

ขอบอกไว้ก่อนนะว่า คราวนี้เนื้อหาน้อยหน่อยแต่ยาว เพราะจะเป็นการกำหนดข้อตกลงสำหรับเรื่องต่อ ๆ ไปในอนาคต

สมมติว่าเรามีลำดับอยู่

a₁, a₂, a₃, ..., a_n

เวลาหาผลบวกเราก็จะเขียนว่า


แล้วถ้ากำหนดฟังก์ชัน f ว่า

f(x) = a_x

ก็จะได้ว่าผลบวกอันเดิม กลายเป็นหน้าตาแบบนี้ (อันขวา)


สมมติว่า f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราจะเห็นว่า


แต่ถ้าเราคิดผลบวกของ f(x) เฉพาะตอนที่ x เป็นจำนวนเต็ม จะมองภาพผลรวมในกราฟได้แบบในรูปข้างล่างนี่

เมื่อ

หมายเหตุ: ลูกศร แปลว่า ตั้งใจกำหนดให้หน้าตามันคล้าย ๆ กันอะนะ
สัญลักษณ์นี้ ยืมมาจาก Knuth นะครับ
จำสัญลักษณ์นี้ไว้ดี ๆ หละจะใช้อีกนานเลย

แล้วมองแบบนี้มีประโยชน์ยังไงหละ?

เอาตัวอย่างอันนึงละกัน เราจะพิสูจน์ว่า 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 ด้วยการมองภาพผลรวมจากกราฟ

เริ่มโดย มองภาพสามเหลี่ยมอันนี้


แน่นอนว่าพื้นที่ต้องเท่ากับ (1/2)n² (จะคิดจากสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมหรือจะ integrate เอาก็ได้)

คราวนี้ลองดูภาพนี้


จะเห็นว่าพื้นที่ของผลบวกมันน้อยกว่าพื้นที่ของ integral อยู่ n/2 ดังนั้นจะตั้งสมการได้ว่า


ซึ่งก็ทำให้สามารถสรุปได้ว่า

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = n(n - 1)/2

หรือก็คือ

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

น่ะแหละ

คราวหน้าจะต่อเรื่องการหาผลบวกแบบไม่ต่อเนื่อง (Σ น่ะ) อีกนะ

ทั่วไป

น้ำกร่อยลงหนังสือซุบซิบดาราด้วยหละ ไปเป็นกิ๊กดารารุ่นโบราณเฉยเลย 555 ชอบวิธีใส่ไข่ของนักข่าวจริง ๆ แฮะ

• ไปไหนมาไหนด้วยกัน 24 ชั่วโมง
• จูงมือกันไปดูหนัง

แต่ว่าภาพถ่ายมีแต่ภาพตอนน้ำกร่อยกำลังสอนเค้าใช้มือถือ ... ถ่ายตั้งหลายรูปมีมุมเดียว ตำแหน่งเดียว
แล้วรูป "ไปไหนมาไหนด้วยกัน" กับ "จูงมือกันไปดูหนัง" ก็ไม่เห็นเอามาลงเลย

คลิกที่รูปเพื่อดูภาพเต็ม ๆ ได้นะ

สูตรเมื่อสมัยเด็ก - Hero's Formula

คราวนี้ ลองกลับมาขุดเรื่องสมัยเด็ก ๆ กันอีกทีดีกว่า (คราวนี้ต้องคิดตามเยอะหน่อยนะ เป็นเรื่องพีชคณิตล้วน ๆ เลย) เรื่องนี้เรียกว่า Hero's Formula หรือ Heron's Formula (มันมี 2 ชื่อ ... ได้ไงไม่รู้)

เข้าเรื่องเร็ว ๆ เลยละกัน สมมติว่ามีสามเหลี่ยมรูปนึง ที่เรารู้ความยาวด้านทั้งสาม

แล้วเราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี่ได้ยังไงหละ? ลากเส้นส่วนสูงแล้วกำหนดตัวแปรเพิ่มก่อนละกัน

เอาหละ คราวนี้ลองมาดูว่าเราตั้งสมการอะไรได้บ้าง

(1)	A2 = h2 + a2
(2)	B2 = h2 + b2
(3)	C = a + b

เอาหละ มี 3 สมการ 3 ตัวแปรพอดีเลย มันต้องแก้ได้แหละนะ เริ่มโดยเอา (1) - (2) จะได้

A² - B² = a² - b²
A² - B² = (a - b)(a + b)

เนื่องจาก (3) แทนค่าลงไปจะได้

(4)	(A2 - B2)/C = a - b

คราวนี้ ตามสูตรมาตรฐานก็คือ (3) + (4) จะได้ 2a ออกมาแล้ว

C + (A² - B²)/C = 2a

เอา C คูณตลอด รูปจะได้สวย ๆ

2aC = A² - B² + C²

คราวนี้ ยกกำลังสอง เพื่อให้มันมี a² จะได้ใกล้เคียงกับสมการที่ (1)

(5)	4a2C2 = (A2 - B2 + C2)2

เอาสมการที่ (1) คูณด้วย 4C² รูปจะได้ตรงกันพอดีกับ (5)

4A²C² = 4h²C² + 4a²C²

เอา (5) มาแทนได้แล้วหละ

4A²C² = 4h²C² + (A² - B² + C²)²

ตอนนี้ติดตัวแปรเดียวคือ h ก็ย้ายข้างซะ

4h²C² = 4A²C² - (A² - B² + C²)²

4h²C² = (2AC + A² - B² + C²)(2AC - A² + B² - C²)

4h²C² = [(A + C)² - B²][B² - (A - C)²]

4h²C² = (A + C + B)(A + C - B)(B + A - C)(B - A + C)

4h²C² = (A + B + C)(-A + B + C)(A - B + C)(A + B - C)

เอาหละ ถอดรากเลย

2hC = sqrt[(A + B + C)(-A + B + C)(A - B + C)(A + B - C)]

เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ hC/2 ดังนั้นคำตอบที่เราต้องการก็คือ

hC/2 = (1/4)sqrt[(A + B + C)(-A + B + C)(A - B + C)(A + B - C)]

ถ้าให้ s = (A + B + C)/2 จะได้ว่า

2s = A + B + C
2(s - A) = -A + B + C
2(s - B) = A - B + C
2(s - C) = A + B - C

ดังนั้น

พื้นที่ของสามเหลี่ยม = sqrt[s(s - A)(s - B)(s - C)]
s = (A + B + C)/2

จบแล้วจ้า นี่แหละที่เรียกว่า Hero's Formula หรือ Heron's Formula

ต่อจากสูตรเมื่อสมัยเด็ก - ปริมาตรของ Tetrahedron

ในเรื่อง ตามหาความหมายของ Determinant: Area & Volume กับเรื่อง สูตรเมื่อสมัยเด็ก - พื้นที่ของ Polygon (ตอนแรก) เราก็รู้มาแล้วว่า สูตรของพื้นที่ที่เกิดจากจุด 2 จุด (หรือ vector 2 เส้น) เป็นแบบนี้

ลองมาขยายให้เป็นสามมิติซิ (ใช้แนวคิดแบบเดียวกับในเรื่อง ตามหาความหมายของ Determinant: Area & Volume)

เอาหละ เรารู้แล้วว่าปริมาตรในรูปข้างบน (ขวา) นี้ เท่ากับ | u : v : w | / 6 คราวนี้ก็ใช้แนวคิดการรวมเข้าหักออกแบบที่เคยทำ (ในเรื่อง สูตรเมื่อสมัยเด็ก - พื้นที่ของ Polygon (ตอนจบ)) เราก็จะได้ว่า ปริมาตรของทรงเหลี่ยม 4 หน้าที่กำหนดด้วยจุดยอด 4 จุดเป็นดังนี้

น่าเสียดายหน่อย ที่ปริมาตรของ Polyhedron ใด ๆ ไม่สามารถคำนวณได้ง่าย ๆ เหมือนกับพื้นที่ของ Polygon ใด ๆ ...

แต่เราก็พอเห็นไอเดียอะไรอีกอย่างนะ... ถ้าเรามีจุดใน 4 มิติอยู่ 5 จุด ปริมาณ 4 มิติของ space ที่มีจุดยอดเป็นจุดทั้ง 5 จุดที่กำหนดให้ ก็น่าจะมีค่าเท่ากับ

ซึ่งมันเป็นจริง ... แล้วก็ เมื่อขยายไปเป็น 5 มิติ หรือ 6 มิติ หรือจะกี่มิติก็ตาม หลักการนี้ก็ยังใช้ได้อยู่ (สังเกตด้วยว่าตัวหารของ n มิติก็คือ n! นะ)

Synonym ของคำว่า "เหงา" "ถูกทอดทิ้ง" ฯลฯ

เอาตามที่มีคนขอมาละกัน ... คำที่แปลว่าเหงาเหรอ

คำที่คิดได้คำแรกรู้สึกจะเป็นคำว่า LONELY (adj) นะ (รู้สึกจะเป็นชื่อภาษาอังกฤษของเพลง "เหงา" ของ Peacemaker ด้วย)

ก็ ... นี่เป็นคำที่หามาได้ที่สามารถแปลได้ว่า "เหงา" (ที่ใช้ว่า "สามารถแปลได้ว่า" ก็เพราะ คำเหล่านี้มีความหมายในแง่อื่นด้วย)

• alone
• lone
• lonely
• lonesome

ไอ้ที่แปลว่า "เหงา" เฉย ๆ หมดแล้วอ่า... แต่คำที่น่าจะแปลว่า "เหงา" ได้ดีอีก 2 คำ (adj ทั้งคู่) ก็คือ

• lorn
  
• forlorn*
  

ทั้งสองคำนี้มีความหมายว่า "เศร้าเสียใจเพราะถูกทอดทิ้ง" ซึ่งมันก็แปลว่า "เหงา" ได้ จริงมั้ย

ต่ออีกนิด... ลองดูต่อซิ ว่า "ถูกทอดทิ้ง" น่ะ มีคำว่าอะไรบ้าง (adj หมดทุกตัวนะ ... ง่ายเนาะ)

• abandoned (abandon)
• deserted (desert)
• desolate/desolated (desolate)
• forsaken (forsake)
• godforsaken (forsake, god)

แล้วก็ พวกที่มีความหมายประมาณว่าติดเกาะ...

• castaway (away, cast)
• isolated (isolate)
• marooned* (maroon)
• stranded* (strand)

ต่อด้วยคำที่แปลว่า "ชอบอยู่ตามลำพัง" หรือ "ไม่ชอบเข้าสังคม" ก็ได้แก่

• anchoritic (anchor)
• eremitic (eremite)
• hermitic (hermit)
• nongregarious (gregarious)
• nonsocial (social)
• recluse/reclusive (recluse)
• solitary (solitaire, solitude)

สุดท้าย ... คำที่แปลว่า "ลับตาคน" หรือ "เป็นส่วนตัว" มีดังนี้...

• isolated (isolate)
• privy (privy)
• reclusive (recluse)
• secluded (seclude)
• sequestered (sequester)
• sequestrated (sequestrate)

สรุป:

forlorn (adj) = เศร้าเพราะถูกทอดทิ้ง
lorn (adj) = forlorn

marooned (adj) = ถูกทิ้ง, ติดเกาะ
stranded (adj) = marooned

anchoritic (adj) = รักสันโดษ
eremitic (adj) = anchoritic
hermitic (adj) = anchoritic

recluse (adj) = ไม่ชอบเข้าสังคม
recluse (n) = คนที่ recluse

anchorite (n) = ฤาษี
eremite (n) = a Christian recluse
hermit (n) = ฤาษี
solitary (n) = a recluse
solitudinarian (n) = a recluse
troglodyte (n) = a recluse | มนุษย์ถ้ำ

privy (n) = ส้วม
privy (adj) = เป็นพื้นที่ส่วนตัว
privy to (adj) = รู้ความลับ
sequestered (adj) = เป็นส่วนตัว
sequestrate (v) = แบ่งออกจากกัน

ตามหาความหมายของ Determinant: Kramer's Rule

คราวนี้ขอร่ายยาวซักนิดนะ เรื่องนี้เรื่องสำคัญ

เริ่มจาก สมมติว่ามี vector อยู่ 3 เส้น คือ u v และ w แล้วอยากรู้บางอย่าง

เราก็ลองตั้งตัวแปร a กับ b ขึ้นมา

w = au + bv

คราวนี้ จะหาค่า a กับ b ยังไงหละ ... เอาหละ ตรงนี้คือไอเดียหลักเลย

จะเห็นว่าแนวของ h₁ กับ h₂ ตั้งฉากกับ u ดังนั้น

เราหาค่า b ได้แล้ว! ลองคิดแบบเดียวกันแต่เอา v เป็นหลักซิ...

นี่ไง ค่า a ก็หาได้ ก็ได้คำตอบครบแล้วหละ นี่แหละที่เรียกว่า กฎของ Kramer

สำหรับใครที่ยังไม่เคลียร์ ลองดูนี่ต่อละกัน

เราจะได้ว่าสมการ 2 ตัวแปรอันนี้ (a กับ b เป็นตัวแปร ส่วน u v กับ w เรารู้อยู่แล้ว)

มีคำตอบคือ

คุ้นได้แล้วแหละเนาะ

ในกรณีที่มีมิติเยอะกว่านี้ ก็ใช้หลักการนี้เหมือนกัน ลองคิดดูสิ

รากศัพท์ LOQ - เกี่ยวกับคำ

เกือบลืมไปว่าเราก็จะเขียนเรื่องภาษาด้วย อิอิ... วันนี้เอารากศัพท์ตัวนึงมาฝาก

LOQ

ความหมายคร่าว ๆ ของมันก็คือ "เกี่ยวกับคำ"

คำ(หลัก ๆ)ที่สร้างมาจากรากศัพท์นี้ ก็มี

colloquy (n)

• แปลว่า "การสนทนาอย่างเป็นทางการ" อนุพันธ์ของคำนี้ก็คือ colloquium (n, pl = colloquia) ซึ่งแปลว่า "การสัมมนาทางวิชาการ"
  

colloquial (adj)

• คำนี้แปลกหน่อย ความหมายมันไม่สอดคล้องกับ colloquy หรือ colloquium เพราะ colloquial language แปลว่า "ภาษาพูด ไม่เป็นทางการ" อนุพันธ์ของคำนี้ก็คือ colloquialism (n) ซึ่งก็คือ "การใช้ภาษาแบบภาษาพูด"
  

eloquent (adj) → eloquence (n)

• eloquent person คือ "คนที่ใช้ภาษาเก่ง พูดเข้าใจง่าย ชัดถ้อยชัดคำ" ส่วนคำว่า eloquence ก็มีความหมายตามที่มันควรจะเป็นก็คือ "ลักษณะการใช้ภาษาที่ดี"
  

grandiloquent (adj) → grandiloquence (n)
magnilogquent (adj) → magniloquence (n)

• อันนี้แปลง่ายนะ grand กับ magn หมายถึง "เยอะมาก" สองคำนี้มีความหมายเหมือนกันคือ "ใช้ภาษาแบบฟุ่มเฟือยหรือหรูหรา" อาจจะมีความหมายบวกหรือลบก็ได้ (ถ้าเป็นแง่ลบ อาจจะแปลว่า น้ำท่วมทุ่ง ไร้สาระ ก็ได้)
  

loquacious (adj) → loquacity (n)

• คำนี้เป็นคำที่มีความหมายในแง่ลบอย่างเดียวเลย เพราะแปลว่า "พูดมาก ไร้สาระ น้ำท่วมทุ่ง"

obloquy (n)

• คำนี้มีความหมายกว้างหน่อย คือ ความหมายจากรากศัพท์ จะแปลว่า "การให้ร้าย การว่าร้าย" (อาจจะจริงหรือแต่งขึ้นก็ได้) ความหมายที่กว้างหน่อยก็คือ "การโจมตี" แต่คำนี้ยังมีอีกความหมายหนึ่ง ที่แปลว่า "ความอับอายขายหน้าต่อสาธารณชน" (syn opprobrium) ซึ่งก็พอจะมีความสัมพันธ์กับความหมายเดิมอยู่บ้างแหละ

soliloquise/soliloquize (v) → soliloquy (n)

• คำนี้ไม่ค่อยต้องจำความหมายเท่าไหร่ เพราะมีรากศัพท์ช่วยอีกตัวคือ sol (= โดดเดี่ยว เช่น solo solitude isolate ฯลฯ) soliloquise แปลว่า "พูดกับตัวเอง" นะ

somniloquy/somniloquism (n) → somniloquist (n)

• คำนี้ก็เหมือนกัน รากศัพท์ somn บอกว่าเกี่ยวข้องกับการนอนหลับ ดังนั้น somniloquy และ somniloquism ก็จะแปลว่า "การละเมอพูด" นั่นเอง

ventriloquis/ventriloquize (v) → ventriloquy/ventriloquism (n), ventriloquist (n)

• อันนี้เป็นศัพท์เฉพาะทางนิดนึง ventriloquis แปลว่า "พูดแทนหุ่นกระบอกที่ขยับปากได้ แล้วก็ขยับปากหุ่นกระบอกตามที่พูดด้วย" ... ไปลองค้น ๆ เอาตาม Search Engine คงจะเจออะไรเยอะหละ (เอาตัวอย่างมาให้ดูอันนึงเพื่อให้เห็นภาพ: Ventriloquism 101)

แล้วก็ ... มีหน้าตารากศัพท์เดียวกันแต่สะกดต่างกันด้วย เช่น LOCU กับ LOGUE

เริ่มจากคำหลักก่อนละกัน

locution (n) = คำพูด

จากนี้ ก็ลองดูคำจากรากศัพท์ LOCU กันนะ

allocution (n)

• al แสดงถึงการสนับสนุน ดังนั้น allocution รวม ๆ ก็แปลว่า "การแนะนำและสนับสนุน" (อาจจะแกมบังคับก็ได้)

circumlocution (n) → circumlocutory/circumlocutious (adj)

• อันนี้แปลง่ายมากเลย circum หมายถึงรอบ ๆ ดังนั้น circumlocution ก็คือ "การพูดอ้อม ๆ" น่ะแหละ

elocute (v) → elocution (n), elocutionary (adj), elocutionist (n)

• ถ้าแปล e ว่า "ดี" คำว่า elocute ก็จะได้แปลว่า "พูดแบบ expert ด้านภาษา" นั่นเอง

interlocution (n) → interlocutory (adj), interlocutor (n)

• ก็ แปลจากคำว่า inter ได้เลยนะ รวม ๆ คำนี้แปลง่าย ๆ เลยว่า "การสนทนา" น่ะแหละ

prolocutor (n)

• คำนี้ จะว่าเดารากศัพท์ได้ มันก็พอได้แหละ แต่ pro มันกว้างไปนิดนึง คงต้องจำหละว่า pro ในคำนี้มันแปลว่าอะไร ... prolocutor แปลว่า "โฆษก" หรือ "ผู้พูดแทนกลุ่ม" นะ

ส่วนรากศัพท์ LOGUE เนี่ย ส่วนใหญ่จะหมายถึงงานเขียนมากกว่าคำพูดหนะ คำที่สร้างจากรากศัพท์นี้มีเยอะมากเลย เอามาไว้ตรงนี้ไม่ไหวอะ

สรุป:

LOQ
colloquy (n) = formal conversation
colloquium (n) = academic conference
colloquial (adj) = informal
eloquent (adj) = fluent in speech
grandiloquent (adj) = excessive in verbal ornamentation
magniloquent (adj) = grandiloquent
loquacious (adj) = talkative
obloquy (n) = verbal attack | opprobrium
soliloquize (v) = talk to oneself
somniloquy (n) = talking while asleep
ventriloquize (v) = speak as if the dummy speaks

LOCU
allocution (n) = speech which advises or urges
circumlocution (n) = indirect expression
elocute (v) = declaim in an expert manner
interlocution (n) = conversation
prolocutor (n) = spokesperson

โจทย์แคลคูลัส (จากญี่ปุ่นเชียวนะ!)

วันนี้ ... ไม่สิ เมื่อวานนี้ ... มีเด็ก (ละกัน...อิอิ) ที่อยู่ญี่ปุ่นมาถามโจทย์แคลคูลัส ท่าทางเรื่องน่าสนใจดี (จริง ๆ ก็เล็งจะเอาเรื่องนี้มาใส่อยู่แล้ว) เลยเอามาลงให้ตอนนี้ซะเลย

โจทย์มีอยู่ว่า

ข้อแรก กำหนดให้


จงพิสูจน์ว่า


(ด้วย integration by parts)

ข้อสอง (ต่อจากข้อแรก) ให้พิสูจน์การประมาณค่า


โดยกำหนดให้

ข้อที่สาม (ก็เกี่ยวกับสองข้อแรกแหละ) ให้พิสูจน์ว่าไอ้ที่กำหนดให้ในข้อเมื่อกี้เนี้ย เป็นจริง โดยบอกใบ้ให้ว่า

วิธีทำ ... ขอโทษด้วยที่ไม่มีเวลาทำให้มันสวย ๆ (ดูดี ๆ สมการนี่ก็เอามาจากที่อื่นนะ) เอาที่เขียนเป็นลายมือไปก่อนละกัน ไว้จะทำให้ใหม่นะคร้าบ


หน้า 1
หน้า 2
หน้า 3
กระดาษที่เขียนนี่ ใช้ไปแล้วหน้านึงนะ (เป็นแผ่นที่พิมพ์คำศัพท์ไว้อ่านก่อนสอบ GRE น่ะแหละ)

พื้นที่ผิวของทรงกลม

คาดว่าทุกคนคงรู้กันอยู่แล้วว่าพื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี r เท่ากับ 4πr² ที่จะเอามาให้ดูตอนนี้ ไม่ใช่ (แค่) วิธีพิสูจน์หรอกนะ แต่เป็นอะไรที่น่าสนใจกว่านั้น

สมมติว่า เราอยากรู้พื้นที่บนผิวของทรงกลมตรงส่วนที่แรเงาของรูปนี้


สมมติว่าพื้นที่ที่ต้องการหา มีค่าเท่ากับ A ลองคำนวณโดยใช้ Calculus ตรง ๆ ดูซิ


ตั้งสมการหา dA ดังนี้

dA = (2πr cos θ) ⋅ r dθ = 2πr² cos θ dθ

เปลี่ยนตัวแปรจาก θ เป็น y

y = r sin θ
dy = r cos θ dθ
แทนค่าคืนลงไปในสมการของ dA จะได้ ...

dA = 2πr dy
เอ๊ะ ทำไมมันง่ายแปลก ๆ ... ? ไหนลอง integrate ซิ

A = ∫dA = ∫2πr dy
A = 2πr∫dy
A = 2πry + C
พื้นที่ที่ต้องการหาในรูปแรก ก็เท่ากับ...

A(y₂) - A(y₁) = 2πr(y₂ - y₁)
เอ๊ะ ... นี่มันเท่ากับพื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอกที่มีรัศมี r กับความสูง y₂ - y₁ พอดีเลยหนิ ... แปลกดีเนอะ ...

...

ไม่แปลกหรอ ......... T_T

ป.ล. : ให้ y₂ - y₁ = 2r ก็จะได้สูตร 4πr² นะ