ตามหาความหมายของ Determinant: Linear Combination

มาตามหาความหมายของ Matrix และ Determinant กันต่อนะ ขอทวนของเก่านิดนึง ...

ทำรูปให้ดูได้ถึงแค่ 3 มิติอะ พอถึง 4 มิติก็ไม่รู้จะวาดไง (ไม่รู้จะเรียกว่าอะไรด้วย) แต่แนวคิดก็ยังใช้ได้เหมือนกันนะ

ผลรวมเชิงเส้น (Linear Combination) ของ u กับ v ในกรณี 2 มิติ ก็คือ vector ที่เขียนได้ในรูป

au + bv เมื่อ a, b ∈ R

จะเห็นว่า Linear Combination ของ u กับ v มีอยู่มากมายนับไม่ถ้วน (เพราะ R เป็นเซตที่นับไม่ได้)

เซตของ Linear Combination ทั้งหมดของ u กับ v จะเขียนแทนด้วย

span(u, v) = { au + bv | a, b ∈ R }

รูปข้างล่างนี่ จะเห็นว่า u กับ v ทำให้เกิดระบบพิกัดใหม่ จากเดิมที่ใช้ x กับ y ก็กลายเป็น a กับ b

แต่มีกรณีนึง ที่ u กับ v ไม่ทำให้เกิดระบบพิกัดใหม่ ก็คือ เมื่อ u กับ v มีทิศทางเดียวกัน ซึ่งจะทำให้

| u : v | = 0

เราก็เลยสรุปได้ว่า

span(u, v) = R² ก็ต่อเมื่อ | u : v | ≠ 0

จะ 3 มิติก็เหมือนกัน

span(u, v, w) = R³ ก็ต่อเมื่อ | u : v : w | ≠ 0

และไม่ว่าจะกี่มิติก็ตาม

span(u₁, u₂, u₃, ..., u_n) = Rⁿ ก็ต่อเมื่อ | u₁ : u₂ : u₃ : ... : u_n | ≠ 0

เสริมนิดนึง

ถ้ากำหนด uspan (Unit Span) สำหรับกรณี 2 มิติให้เป็น

uspan(u, v) = { au + bv | a, b ∈ (0, 1) }

ก็จะเห็นว่า

พื้นที่ของ uspan(u, v) = | u : v |

และ

uspan(u, v) ≠ ∅ ก็ต่อเมื่อ span(u, v) = R²

กรณี 3 มิติ ก็เหมือนกัน คือ

ปริมาตรของ uspan(u, v, w) = | u : v : w |

uspan(u, v, w) ≠ ∅ ก็ต่อเมื่อ span(u, v, w) = R³

และ ... ในกรณี n มิติ (วาดรูปไม่ได้อีกแล้วอ่า)

ปริมาณ n มิติของ uspan(u₁, u₂, u₃, ..., u_n) = | u₁ : u₂ : u₃ : ... : u_n |
uspan(u₁, u₂, u₃, ..., u_n) ≠ ∅ ก็ต่อเมื่อ span(u₁, u₂, u₃, ..., u_n) = Rⁿ

จบจ้า ... แล้วตกลงรู้ความหมายของ det รึยังหละเนี่ย ... :P