สมการพหุนามกำลังสอง ... และสาม

กลัวจะเบื่อเรื่อง matrix กับ det กัน คราวนี้ก็เลยเอาอีกเรื่องมาฝากนะครับ...

สมการนี้ คาดว่าทุกคนคงจะเคยเห็นกันแล้ว และก็รู้วิธีหารากด้วย

Ax² + 2Bx + C = 0
วิธีอย่างง่ายที่สุดก็คือแยกตัวประกอบแบบกำลังสองสัมบูรณ์ คือทำให้เป็น

(x + อะไรซักอย่าง)² - อะไรอีกอย่าง = 0
แต่สำหรับคนที่ไม่เคยรู้เรื่องและคิดวิธีการแยกแบบกำลังสองสัมบูรณ์ไม่ออก จริง ๆ ก็สามารถหาคำตอบได้ โดย

x(Ax + 2B) + C = 0
x(Ax + 2B) = -C
Ax(Ax + 2B) = -AC
ให้ y = Ax + B ก็จะได้
(y - B)(y + B) = -AC
y² - B² = -AC
y² = B² - AC
y = ±sqrt(B² - AC)
แทนค่าคืนด้วย y → Ax + B ก็จะได้
Ax = -B ± sqrt(B² - AC)
x = [-B ± sqrt(B² - AC)] / A
ก็ได้สูตรที่คุ้นเคย จะเห็นว่าเราสามารถแก้สมการได้ด้วยการเปลี่ยนตัวแปร แล้วกรณีนี้หละ...?

x³ + Ax² + Bx + C = 0
(ขอสัมประสิทธิ์หน้า x³ เป็น 1 นะ จะได้ง่าย ๆ)
เริ่มโดยกำจัดเทอม x² ก่อน... จากความรู้ที่ว่า (x + k)³ = x³ + 3kx² + 3k²x + k³ เราก็ลองให้

y = x + k และ A = 3k → x = y - A/3
ลองแทนลงไปในสมการดั้งเดิม (แล้วใช้กำลังในการคูณกระจายและจัดรูป) จะได้ว่า

(y - A/3)³ + A(y - A/3)² + B(y - A/3) + C = 0
y³ - Ay² + (1/3)A²y - (1/27)A³ + Ay² - (2/3)A²y + (1/9)A³ + By - (1/3)AB + C = 0
y³ + [B - (1/3)A²]y + [C - (1/3)AB + (2/27)A³] = 0

เพื่อให้ง่ายต่อการคิดต่อ... เราลองแทนค่าสัมประสิทธิ์ใหม่ดีกว่า

p = (1/3)[B - (1/3)A²]
q = C - (1/3)AB + (2/27)A³
จะได้ว่า

y³ + 3py + q = 0
ต่อไปนี้เป็นสิ่งมหัศจรรย์ เรียกว่า Vieta's Substitution ... ทำแบบนี้!!!

y = w - p/w
ลองดูซิ ว่าแทนไปแล้วเป็นยังไง...?

(w - p/w)³ + 3p(w - p/w) + q = 0
w³ - 3pw + 3p²/w - p³/w³ + 3pw - 3p²/w + q = 0
w³ - p³/w³ + q = 0
อ๊ะ! เอา w³ คูณตลอดซิ...

w⁶ + qw³ - p³ = 0
ให้ u = w³ จะได้ว่า
u² + qu - p³ = 0
นี่มันสมการพหุนามกำลังสอง!!! แก้ได้เห็น ๆ... แต่มันมี 6 คำตอบหนิ (สมการในรูป w มันยกกำลัง 6)

แปลกดีเนอะ ลองแทนค่ากลับในสมการ y = w - p/w สิ มันจะเหลือ 3 คำตอบ

สุดท้ายก็จะได้รากทั้ง 3 ของสมการแรกเมื่อแทนค่ากลับในสมการ x = y - A/3 ... เหนื่อยเนาะ