ตามหาความหมายของ Determinant: เวกเตอร์ตั้งฉาก

จะอ่านเรื่องนี้ ต้องคิดตามหน่อยนะ

คราวที่แล้วนิยาม u × v แบบแปลก ๆ ไปเฉพาะใน 2 มิติ คราวนี้เลยคิดว่า น่าจะกำหนดสัญลักษณ์ใหม่ให้มันใช้ได้กับทุกมิติ เอาเป็นว่า vector จะเขียนเป็น matrix แนวตั้ง หรือลำดับแนวนอน...

แล้วก็ matrix ที่เกิดจากการเอา u กับ v มาต่อกัน จะเขียนว่า [u : v] ซึ่งจะทำให้

และ

det[u : v] = | u : v | = ad - bc

คราวนี้ จะนิยามสัญลักษณ์สำคัญอีกอย่างหนึ่ง ก็คือ β ดังนี้

β = (i, j) หรือ (i, j, k) (ตามจำนวนมิติ)

ความพิเศษก็คือ β เป็น vector ของ vector ดังนั้น

β · u = u
| β : u | เป็น vector

แล้วก็... อันนี้สำคัญสุด เดี๋ยวเอาไปใช้ข้างล่าง

| β : u | · v = | v : u |

เอาหละ มาถึงเรื่องหลักของเราแล้ว... สมมติว่า v ตั้งฉากกับ u = (a, b) เราจะรู้ว่า

v = k(b, -a) ; k ∈ R - {0}

แล้วลองคิดค่าของ | β : u | ดู

| β : u | = (b, -a)

อ๊ะ! ... | β : u | ตั้งฉากกับ u ... จริงเหรอ? ลองพิสูจน์ซิ

| β : u | ⋅ u = | u : u | = 0

จริงด้วยแฮะ (หวังว่าจำได้นะ ว่า det ของ matrix ที่มีแถวซ้ำกันจะเป็น 0 ... ทำไม? ไว้จะบอกอีกทีละกัน)

คราวนี้ลอง 3 มิติดูบ้างดีกว่า ถ้าให้ u กับ v มาเป็น vector ใน 3 มิติ จะหา vector ที่ตั้งฉากกับทั้ง u และ v ซักตัวได้ยังไงน้า......อ๋อ! u × v ไง

แล้วก็บังเอิญเหลือเกิน...

u × v = | β : u : v |

มันตั้งฉากกับทั้ง u และ v จริง ๆ ใช่มะ? ลองตรวจสอบหน่อยละกัน

| β : u : v | ⋅ u = | u : u : v | = 0
| β : u : v | ⋅ v = | v : u : v | = 0

ตั้งฉากจริง ๆ นะเนี่ย... แล้วถ้า 4 มิติหละ...

ไม่อยากหรอกเนอะ ก็ทำเหมือนกันไง... สมมติว่ามี u v แล้วก็ w เป็น vector ใน 4 มิติ เราจะหา vector ที่ตั้งฉากกับ vector ทั้งสามที่ให้มาได้โดยวิธีเดียวกัน...

x = | β : u : v : w |

ซึ่งมันต้องตั้งฉากกับทั้ง u v และ w แน่นอน เพราะว่า

u ⋅ x = | u : u : v : w | = 0
v ⋅ x = | v : u : v : w | = 0
w ⋅ x = | w : u : v : w | = 0
จริง ๆ แล้ว มันจะกี่มิติก็ได้ด้วยหละนะ... เย่! จบ!