Discrete vs Continuous: พื้นฐาน

ขอบอกไว้ก่อนนะว่า คราวนี้เนื้อหาน้อยหน่อยแต่ยาว เพราะจะเป็นการกำหนดข้อตกลงสำหรับเรื่องต่อ ๆ ไปในอนาคต

สมมติว่าเรามีลำดับอยู่

a₁, a₂, a₃, ..., a_n

เวลาหาผลบวกเราก็จะเขียนว่า


แล้วถ้ากำหนดฟังก์ชัน f ว่า

f(x) = a_x

ก็จะได้ว่าผลบวกอันเดิม กลายเป็นหน้าตาแบบนี้ (อันขวา)


สมมติว่า f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราจะเห็นว่า


แต่ถ้าเราคิดผลบวกของ f(x) เฉพาะตอนที่ x เป็นจำนวนเต็ม จะมองภาพผลรวมในกราฟได้แบบในรูปข้างล่างนี่

เมื่อ

หมายเหตุ: ลูกศร แปลว่า ตั้งใจกำหนดให้หน้าตามันคล้าย ๆ กันอะนะ
สัญลักษณ์นี้ ยืมมาจาก Knuth นะครับ
จำสัญลักษณ์นี้ไว้ดี ๆ หละจะใช้อีกนานเลย

แล้วมองแบบนี้มีประโยชน์ยังไงหละ?

เอาตัวอย่างอันนึงละกัน เราจะพิสูจน์ว่า 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 ด้วยการมองภาพผลรวมจากกราฟ

เริ่มโดย มองภาพสามเหลี่ยมอันนี้


แน่นอนว่าพื้นที่ต้องเท่ากับ (1/2)n² (จะคิดจากสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมหรือจะ integrate เอาก็ได้)

คราวนี้ลองดูภาพนี้


จะเห็นว่าพื้นที่ของผลบวกมันน้อยกว่าพื้นที่ของ integral อยู่ n/2 ดังนั้นจะตั้งสมการได้ว่า


ซึ่งก็ทำให้สามารถสรุปได้ว่า

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = n(n - 1)/2

หรือก็คือ

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2

น่ะแหละ

คราวหน้าจะต่อเรื่องการหาผลบวกแบบไม่ต่อเนื่อง (Σ น่ะ) อีกนะ