การแปลงฐานเลข - ส่วนทศนิยม

ต่อเลยละกันนะ ... คราวนี้สมมติว่าค่า X ของเรา เป็นจำนวนจริงบวก มีส่วนจำนวนเต็มและส่วนทศนิยมอยู่ เราจะแยกสองส่วนนี้ออกจากกัน โดยสมมติให้

X = W + F

เมื่อ W ∈ Z⁺ ∪ {0} และ F ∈ [0, 1)

คราวนี้ สมมติให้ s เป็นการเขียนค่า X ในระบบเลขฐาน n เราจะรู้ว่า

X = Σ_i∈Z s(i) nⁱ

ถ้ากำหนดให้

W = Σ_i∈Z s_w(i) nⁱ
F = Σ_i∈Z s_f(i) nⁱ

สมการแรก จะเขียนได้เป็น

W + F = Σ_i∈Z [s_w(i) + s_f(i)] nⁱ

จากตอนที่แล้ว (การแปลงฐานเลข - จำนวนเต็ม) ที่เรารู้ว่า s_w(i) = 0 เมื่อ i < 0

และเนื่องจาก 0 ≤ F < 1 ทำให้รู้ว่า s_f(i) = 0 เมื่อ i ≥ 0

ดังนั้น เราจะแยกคิด s_w(i) กับ s_f(i) ได้ ...

วิธีการหา s_w(i) ก็รู้แล้ว เราจะสนใจแต่ s_f(i) นะ ... เริ่มจากสมการนี้

F = Σ_i<0 s_f(i) nⁱ
F = Σ_i>0 s_f(-i) n^-i

คูณตลอดด้วย n จะได้

nF = Σ_i>0 s_f(-i) n^-i+1

เพราะว่าเรารู้ว่า s_f(-i) ทุกตัว มีค่าไม่เกิน n - 1 ดังนั้น

Σ_i>1 s_f(-i) n^-i+1 ≤ Σ_i≥2 (n - 1) n^-i+1
Σ_i≥1 (n - 1) n^-i = 1

เราจึงแยกส่วนจำนวนเต็มกับส่วนทศนิยมได้ ดังนี้

nF = s_f(-1) + Σ_i>1 s_f(-i) n^-i+1

ผลรวมใน Σ ทางขวา จะอยู่ในช่วง [0, 1) ดังนั้น s_f(-1) = nF mod 1

ได้มาตัวนึงละ ... ทำต่อนะ ... เอา s_f(-1) ลบออกจากทั้งสองข้าง

nF - s_f(-1) = Σ_i>1 s_f(-i) n^-i+1

ค่าทั้งสองข้างของสมการ จะมีค่าอยู่ในช่วง [0, 1) เราก็เอา n คูณเข้าไปอีกที แล้วแยกส่วนเต็มกับเศษออกจากกันอีกที

n[nF - s_f(-1)] = Σ_i>1 s_f(-i) n^-i+2
n[nF - s_f(-1)] = Σ_i>0 s_f(-i - 1) n^-i+1
n[nF - s_f(-1)] = s_f(-2) + Σ_i>1 s_f(-i - 1) n^-i+1

พจน์ที่ติด Σ อยู่ด้านขวา ก็จะรวมกันได้ไม่ถึง 1 อีก ... ดังนั้น s_f(-2) = n[nF - s_f(-1)] mod 1

ถ้าเราทำซ้ำ ๆ ไปเรื่อย ๆ เราก็จะหาค่า s_f(-i) ได้ทั้งหมด