Tuesday, November 08, 2005

โจทย์คลายเครียด

ขออภัยเป็นอย่างยิ่ง ที่ไม่สามารถ update ได้เป็นเวลานานมาาาาาาาก ... T_T

เพื่อให้สามารถชดเชยส่วนที่หายไปได้ ... ขอเขียนเรื่องละสั้น ๆ แล้วก็ เนื้อหาน้อย ๆ หน่อยนะ

คราวนี้ ได้โจทย์มาทาง E-mail ... โจทย์มีอยู่ว่า
กำหนดให้
A1 = 1
A2 = 2
และ An = An-1 + An-2
จงพิสูจน์ว่า An < (7/4)n เมื่อ n ≥ 1
พิสูจน์ด้วยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ลองแทนค่ากรณีเริ่มต้น คือ n = 1 และ n = 2 จะเห็นว่า
A1 = 1 < 7/4
A2 = 2 < 49/16

คราวนี้ สมมติว่า An < (7/4)n สำหรับทุก n ที่ 1 ≤ n < k เราจะรู้ว่า
Ak = Ak-1 + Ak-2
Ak < (7/4)k-1 + (7/4)k-2
Ak < (7/4)k-2(7/4 + 1)
Ak < (7/4)k-2(11/4)

เนื่องจาก 11/4 = 44/16 < 49/16 = (7/4)2 ดังนั้น
Ak < (7/4)k-2(7/4)2 = (7/4)k

แสดงว่า An < (7/4)n เป็นจริงเมื่อ n = k ด้วย

เราก็เลยสรุปได้ว่า มันเป็นจริงสำหรับทุก n ≥ 1

0 Comments:

Post a Comment

<< Home