โจทย์คลายเครียด

ขออภัยเป็นอย่างยิ่ง ที่ไม่สามารถ update ได้เป็นเวลานานมาาาาาาาก ... T_T

เพื่อให้สามารถชดเชยส่วนที่หายไปได้ ... ขอเขียนเรื่องละสั้น ๆ แล้วก็ เนื้อหาน้อย ๆ หน่อยนะ

คราวนี้ ได้โจทย์มาทาง E-mail ... โจทย์มีอยู่ว่า

กำหนดให้
A₁ = 1
A₂ = 2
และ A_n = A_n-1 + A_n-2
จงพิสูจน์ว่า A_n < (7/4)ⁿ เมื่อ n ≥ 1

พิสูจน์ด้วยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ลองแทนค่ากรณีเริ่มต้น คือ n = 1 และ n = 2 จะเห็นว่า

A₁ = 1 < 7/4
A₂ = 2 < 49/16

คราวนี้ สมมติว่า A_n < (7/4)ⁿ สำหรับทุก n ที่ 1 ≤ n < k เราจะรู้ว่า

A_k = A_k-1 + A_k-2
A_k < (7/4)^k-1 + (7/4)^k-2
A_k < (7/4)^k-2(7/4 + 1)
A_k < (7/4)^k-2(11/4)

เนื่องจาก 11/4 = 44/16 < 49/16 = (7/4)² ดังนั้น

A_k < (7/4)^k-2(7/4)² = (7/4)^k

แสดงว่า A_n < (7/4)ⁿ เป็นจริงเมื่อ n = k ด้วย

เราก็เลยสรุปได้ว่า มันเป็นจริงสำหรับทุก n ≥ 1