Discrete vs Continuous: Taylor Series และ Newton Polynomial
Taylor Series
สมมติว่า เรามีฟังก์ชัน f ซึ่งต่อเนื่อง และมีอนุพันธ์ทุกอันดับที่ x0
เราก็จะรู้ค่า f(x0) f'(x0) f''(x0) ... ไปเรื่อย ๆ
คราวนี้ ถ้าเราอยากจะหาฟังก์ชัน f(x) ในรูปของพหุนาม เราจะใช้สมการนี้
f(x) = Σn≥0 f(n)(x0)(x - x0)n/n!
อนุกรมทางด้านขวาของสมการ เราเรียกว่า อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series)
ทำไมอนุกรมเทย์เลอร์ เท่ากับ f(x)?
เริ่มต้นเนี่ย เราก็สมมติว่า
f(x) = Σn≥0 an (x - x0)n
แล้วหาค่า an ทุกตัว
พอเราแทนค่า x = x0 เข้าไป จะเห็นว่า f(x0) = a0
เมื่อเราหาอนุพันธ์ทั้งสองข้าง เราจะได้ว่า
f'(x) = Σn≥1 nan (x - x0)n - 1
= Σn≥0 (n + 1) an+1 (x - x0)n
= Σn≥0 (n + 1) an+1 (x - x0)n
ซึ่งทำให้ f'(x0) = a1
หาอนุพันธ์อีกที จะได้
f''(x) = Σn≥1 n(n + 1) an (x - x0)n - 1
= Σn≥0 (n + 1)(n + 2) an+1 (x - x0)n
= Σn≥0 (n + 1)(n + 2) an+1 (x - x0)n
ซึ่งทำให้ f''(x0) = 2a2
ทำไปเรื่อย ๆ เราจะสรุปได้ว่า
f(n)(x0) = n! an
an = f(n)(x0) / n!
an = f(n)(x0) / n!
ดังนั้น
f(x) = Σn≥0 f(n)(x0)(x - x0)n/n!
Newton Polynomial
ถ้าเรารู้ค่า f(x0) Δf(x0) Δ2f(x0) ...
เราจะสามารถหาฟังก์ชัน f(x) ในรูปของพหุนามได้โดยสมการนี้
f(x) = Σn≥0 Δnf(x0) (x - x0)n/n!
เราเรียกสมการนี้ว่า สูตรผลต่างล่วงหน้าของนิวตัน (Newton's Forward Difference Formula)
วิธีพิสูจน์สูตรนี้ ก็ทำเหมือนเมื่อกี๊แหละ คือเราจะหาค่าของ Δnf(x0) แต่ละตัวได้โดยการหาผลต่าง คือ
สมมติให้ f(x) = Σn≥0 an(x - x0)n
เราก็จะหาค่า an ต่าง ๆ ได้ด้วยวิธีเหมือน ๆ กันกับกรณีของอนุกรมเทย์เลอร์ แบบนี้...
f(x0) = a0
Δf(x0) = a1
Δ2f(x0) = 2a2
...
Δnf(x0) = n! an
Δf(x0) = a1
Δ2f(x0) = 2a2
...
Δnf(x0) = n! an
ดังนั้น
an = Δnf(x0) / n!
ซึ่งเมื่อแทนค่าลงไปในสมการที่เราตั้งขึ้น ก็จะได้สูตรนี้
f(x) = Σn≥0 Δnf(x0) (x - x0)n/n!
Abstraction
เราจะเห็นว่า การพิสูจน์สูตรทั้งสอง มีขั้นตอนที่เหมือนกันทุกประการ แต่มีการกำหนดสูตรเริ่มต้นที่ต่างกัน ซึ่งทำให้ การแปลง ที่ใช้ในการหาสัมประสิทธิ์ an ต้องเป็นคนละตัวกัน
ถ้าจะมองขั้นตอนทั้งหมด ให้เป็นกรณีทั่วไปมากขึ้น เราก็จะทำได้ดังนี้ ...
สมมติว่า มีการแปลงเชิงเส้น T และฟังก์ชัน sn(x) ซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้
s0(0) = k
sn(0) = 0 ; n > 0
Ts0(x) = 0
Tsn(x) = cn sn-1(x) ; n > 0
โดยที่ cn ไม่เป็นฟังก์ชันของ x
sn(0) = 0 ; n > 0
Ts0(x) = 0
Tsn(x) = cn sn-1(x) ; n > 0
โดยที่ cn ไม่เป็นฟังก์ชันของ x
เราจะสามารถสมมติฟังก์ชัน f(x) ให้เป็นแบบนี้ได้
f(x) = Σn≥0 an sn(x)
เพราะ เมื่อเราแทนค่า x = 0 ลงไป เราจะหาค่า a0 ได้ ...
f(0) = k a0
ส่วนค่า an ตัวอื่น ๆ ก็สามารถหาได้โดยการใส่ T เข้าไปทั้งสองข้างของสมการที่เราสมมติขึ้น
Tf(x) = Σn≥0 an Tsn(x)
Tf(x) = a0Ts0(x) + Σn≥1 an Tsn(x)
Tf(x) = 0 + Σn≥1 an cn sn-1(x)
Tf(x) = Σn≥0 an+1 cn+1 sn(x)
Tf(x) = a0Ts0(x) + Σn≥1 an Tsn(x)
Tf(x) = 0 + Σn≥1 an cn sn-1(x)
Tf(x) = Σn≥0 an+1 cn+1 sn(x)
พอเราแทนค่า x = 0 ก็จะได้ว่า
Tf(0) = a1c1k
a1 = Tf(0) / c1k
a1 = Tf(0) / c1k
ส่วนค่า a2 ก็จะหาได้โดยการใส่ T เข้าไปอีกที ที่สมการ Tf(x) = Σn≥0 an+1 cn+1 sn(x) จะได้ว่า
T2f(x) = Σn≥0 an+1 cn+1 Tsn(x)
T2f(x) = a1c1Ts0(x) + Σn≥1 an+1 cn+1 Tsn(x)
T2f(x) = 0 + Σn≥1 an+1 cn+1 cn sn-1(x)
T2f(x) = Σn≥0 an+2 cn+2 cn+1 sn(x)
T2f(0) = a2c2c1k
a2 = T2f(0) / c1c2k
T2f(x) = a1c1Ts0(x) + Σn≥1 an+1 cn+1 Tsn(x)
T2f(x) = 0 + Σn≥1 an+1 cn+1 cn sn-1(x)
T2f(x) = Σn≥0 an+2 cn+2 cn+1 sn(x)
T2f(0) = a2c2c1k
a2 = T2f(0) / c1c2k
สังเกตดู จะเห็นว่า ถ้าทำไปเรื่อย ๆ เราก็จะหาค่า an ได้ทุกค่า ดังนี้
an = Tnf(0) / c1c2c3...cnk
ถ้ากำหนดให้ c0 = k และเขียนผลคูณของ ci ต่าง ๆ ด้วยเครื่องหมาย Π ก็จะได้ว่า
an = Tnf(0) / C(n)
เมื่อ C(n) = Π0≤i≤n ci
เมื่อ C(n) = Π0≤i≤n ci
สรุปก็คือ
f(x) = Σn≥0 Tnf(0) sn(x) / C(n)
กรณีของอนุกรมเทย์เลอร์
sn(x) = xn
T = d/dx
c0 = 1
cn = n ; n ≥ 1
C(n) = n!
T = d/dx
c0 = 1
cn = n ; n ≥ 1
C(n) = n!
กรณีของพหุนามนิวตัน
sn(x) = xn
T = Δ
c0 = 1
cn = n ; n ≥ 1
C(n) = n!
T = Δ
c0 = 1
cn = n ; n ≥ 1
C(n) = n!
posted by Tunococ @ 12:44 AM
0 comments
0 Comments:
Post a Comment
<< Home