Transformation Matrix: Eigenvalues & Eigenvectors "ตอนแรก"

ถ้าใครช่างสังเกตหน่อย จะเห็นว่า ผมเปลี่ยนชื่อหัวข้อไปนิดนึง จากที่วางแผนไว้ใน Tunoblog Summarized จาก ...

เดิม Transformation: Eigenvalues & Eigenvectors
เป็น Transformation Matrix: Eigenvalues & Eigenvectors (คงมีหลายตอน)

จริง ๆ มันเป็นตั้งแต่ตอนที่แล้วแล้วแหละ (Transformation Matrix: Orthonormal Transformations) แต่ก็ยังไม่ลบชื่อหัวข้อเดิมออก ... มันเป็นความจงใจหนะนะ คือ จะเขียนต่ออีก ... ตอนนี้ขอเข้าเรื่องก่อน

นิยามของ Eigenvalue และ Eigenvector

ขอบอกนิยามสำหรับกรณีเมตริกซ์จัตุรัสมิติจำกัดก่อนนะ กรณีที่ทั่วไปมากขึ้น จะพูดถึงในตอนถัด ๆ ไป

Eigenvalues & Right Eigenvectors

ให้ A เป็นเมตริกซ์จัตุรัส มิติ n × n
และให้ u เป็นเวกเตอร์ n มิติ (คือ เมตริกซ์แนวตั้ง มิติ n × 1 หนะ)
ถ้าสามารถหาจำนวนจริง λ ที่ไม่ใช่ 0 ที่ทำให้
Au = λu ได้
จะเรียก u ว่าเป็น Eigenvector ทางขวา ของ A
และจะเรียก λ ว่าเป็น Eigenvalue ของ u

ที่เอานิยามแบบนี้มาให้ดู เพราะมันเป็นความนิยมหนะ จริง ๆ แล้ว ถ้าเราให้ u เป็นเมตริกซ์แนวนอน มิติ 1 × n และเปลี่ยนเงื่อนไขของสมการเป็น

uA = λu

เราก็จะเรียก u ว่าเป็น Eigenvector ทางซ้าย ของ A

เรื่องมหัศจรรย์มีอยู่ว่า ... λ มันจะเท่ากันทั้งสองกรณีน่ะสิ

เมตริกซ์ของ Eigenvalue และ เมตริกซ์ของ Eigenvector

ตอนนี้ ขอเรียก eigenvector ทางซ้ายว่า eigenvector เฉย ๆ นะ จะได้สั้น ๆ และตรงตามความนิยม

"โดยทั่วไป" แล้ว เมตริกซ์ n × n จะมี eigenvector อยู่ n ตัว ดังนั้น eigenvalue ก็จะมีอยู่ n ตัวด้วย

สมมติว่า n = 3 ก่อนละกันนะ แล้วก็ให้ λ₁ λ₂ λ₃ เป็น eigenvalue ทั้งสามของ เมตริกซ์ A ที่มีมิติ 3 × 3

เราจะเขียนเมตริกซ์ของ eigenvalue เป็นเมตริกซ์ทแยงมุมดังนี้

D₁ = (λ₁, 0, 0)
D₂ = (0, λ₂, 0)
D₃ = (0, 0, λ₃)
D = [ D₁ : D₂ : D₃ ]

เพื่อให้เขียนง่าย ๆ หน่อย ขอย่อเมตริกซ์ทแยงมุมเป็นแบบนี้นะ

D = [ λ₁ \ λ₂ \ λ₃ ]

ส่วนเมตริกซ์ของ eigenvector ก็แค่เอา eigenvector มาต่อกัน มันก็จะได้เมตริกซ์จัตุรัสเอง ... หน้าตาแบบนี้

P = [ u₁ : u₂ : u₃ ]

Eigen Decomposition

แล้วไอ้เมตริกซ์เมื่อกี๊ มันเอาไว้ทำอะไรอะ?

เดี๋ยวจะเอาให้ดู ว่าประโยชน์มันคืออะไร

สมมติก่อนว่า A เป็นเมตริกซ์ที่มีมิติเป็น 3 × 3 ซึ่งมี eigenvector 3 เส้น คือ u₁ u₂ u₃ และ eigenvector ทั้งสาม จับคู่กับ eigenvalue 3 ค่า คือ λ₁ λ₂ λ₃ ตามลำดับ ... จากนั้น กำหนดให้

D = [ λ₁ \ λ₂ \ λ₃ ]
P = [ u₁ : u₂ : u₃ ]

เราจะรู้ว่า

AP = A[ u₁ : u₂ : u₃ ]
AP = [ Au₁ : Au₂ : Au₃ ]
AP = [ λ₁u₁ : λ₂u₂ : λ₃u₃ ]

และ

PD = [ u₁ : u₂ : u₃ ][ λ₁ \ λ₂ \ λ₃ ]
PD = [ λ₁u₁ : λ₂u₂ : λ₃u₃ ]

ดังนั้น

AP = PD
A = PDP^-1

การยกกำลังเมตริกซ์ด้วย Eigen Decomposition

อันนี้เป็น หนึ่งในการใช้งานที่สุดแสนจะคลาสสิก และง่ายด้วย ... ความรู้ที่ต้องใช้ก็คือ

[ λ₁ \ λ₂ \ λ₃ ]ⁿ = [ λ₁ⁿ \ λ₂ⁿ \ λ₃ⁿ ] เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

คราวนี้ สมมติว่าเราอยากหา Aⁿ เราก็แตกด้วย Eigen Decomposition ก่อน แล้วทำแบบนี้

A = PDP^-1
A² = PDP^-1 PDP^-1 = PD²P^-1
A³ = PD²P^-1 PDP^-1 = PD³P^-1
...
Aⁿ = PDⁿP^-1

เนื่องจาก Dⁿ มันหาได้ง่าย ๆ จากสมการข้างบน ดังนั้น วิธีนี้จึงมีประสิทธิภาพสูงกว่าการคูณมันไปเรื่อย ๆ ตรง ๆ เห็น ๆ

นอกจากนี้ อินเวอร์สของ A ก็หาได้ด้วยวิธีเดียวกัน ... แบบนี้

Aⁿ = PDⁿP^-1
I = PDⁿP^-1A^-n
P^-1 = DⁿP^-1A^-n
D^-nP^-1 = P^-1A^-n
PD^-nP^-1 = A^-n

ดังนั้น สมการ Aⁿ = PDⁿP^-1 ก็เลยใช้ได้กับจำนวนเต็ม n ใด ๆ ไม่จำกัดเฉพาะจำนวนเต็มบวก (เป็น 0 ก็ได้นะ)

คราวนี้ พอเราหาเมตริกซ์ยกกำลังได้สะดวก ๆ แล้ว พหุนามของเมตริกซ์ก็เขียนได้ง่าย ๆ เหมือนกัน

สมมติว่า f(A) เป็นพหุนามของ A
ถ้าเราสามารถแยก A = PDP^-1 ได้ เราจะรู้ว่า
f(A) = P f(D) P^-1
ซึ่งทำให้ f(A) = P [ f(λ₁) \ f(λ₂) \ f(λ₃) \ ... \ f(λ_n) ] P^-1

พอรู้หยั่งงี้ ฟังก์ชันสุดฮิต e^x ของเรา ก็ใช้กับเมตริกซ์ได้แล้ว เพราะว่า เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของพหุนามได้ ดังนี้

e^A = 1 + A + A²/2! + A³/3! + ...

ดังนั้น ถ้าเราแทนค่า e^A = f(A) ในความสัมพันธ์ f(A) = P [ f(λ₁) \ f(λ₂) \ f(λ₃) \ ... \ f(λ_n) ] P^-1 จะได้ว่า

e^A = P [ e^λ₁ \ e^λ₂ \ e^λ₃ \ ... \ e^λ_n ] P^-1

และที่ยิ่งไปกว่านี้ ... หน้าตาแบบนี้ ทำไมมันจะใช้ได้แค่ e หละ? ... ขยายต่อสิ ให้ฐานมันเป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้

a^A = P [ a^λ₁ \ a^λ₂ \ a^λ₃ \ ... \ a^λ_n ] P^-1

เห็นมั้ย ว่าใช้เมตริกซ์เป็นเลขชี้กำลังได้ละ :D ผลลัพธ์เป็นเมตริกซ์ด้วย

จริง ๆ เราจะนิยามสัญลักษณ์ B^A เมื่อ A กับ B เป็นเมตริกซ์ อีกก็ได้นะ ก็แค่เอา B ไปแทนที่ a ในสมการข้างบนนี่ ... แต่ ... มันจะดูแปลก ๆ อ๊ะป่าว ??? ... เมตริกซ์ที่มีข้อมูลในช่องเป็นเมตริกซ์ ...

---

และแล้วก็จบตอนแรกของเรื่อง eigenvalue กับ eigenvector ... ยังมีอีกเยอะเลยหละ แต่ค่อย ๆ เอามาให้ดูละกัน จะได้อ่านกันไหว