Duality: ความเจ๋งของ Abstraction

จริง ๆ เคยแสดงเรื่อง abstraction ให้ดูไปแล้วในเรื่อง แต่คราวนี้อยากจะเอามาพูดถึง เน้นย้ำอีกนิดนึง

ลองดูคุณสมบัติสำหรับตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ (Propositional Logic) ข้างล่างนี่ก่อน กฎต่อไปนี้ ใช้กับกรณีที่มีแต่เครื่องหมาย ∧ ∨ กับ ¬ นะ (p q r หมายถึง ประพจน์ใด ๆ หนะ แล้วก็ T หมายถึงเป็นจริง และ F หมายถึงเป็นเท็จ นะ)

1. p ∧ F ≡ F
2. p ∨ T ≡ T
3. p ∧ ¬p = F
4. p ∨ ¬p = T
   
5. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
6. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
7. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
8. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

กฎทั้งหกข้อนี้ เป็นจริงสำหรับพีชคณิต ของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ (แน่นอนสิ) ... แต่เราสามารถทำอะไรได้มากกว่านี้นิดนึงนะ

สมมติว่า เราเปลี่ยนหน้าตาเครื่องหมาย แบบนี้

∧ กลายเป็น ∩
∨ กลายเป็น ∪
T กลายเป็น U
F กลายเป็น ∅
(≡ กลายเป็น =)

เราก็จะได้ กฎสำหรับพีชคณิตของเซต ... ถ้าไปพิสูจน์ดู ก็จะรู้ว่ามันถูก ... แต่อันนี้ ยังไม่เจ๋งหรอก ลองเปลี่ยนอีกแบบดีกว่า

∧ กลายเป็น ∨
∨ กลายเป็น ∧
T กลายเป็น F
F กลายเป็น T

คราวนี้ กฎข้อที่ 1 ของเดิม จะกลายเป็นกฎข้อที่ 2 (ลองกลับขึ้นไปดูสิ) แล้วกฎข้อที่ 2 มันก็กลายเป็นกฎข้อที่ 1 ... !?

อ๊ะ! ... คู่อื่น ๆ (คู่ 3 กับ 4 คู่ 5 กับ 6 แล้วก็คู่ 7 กับ 8) ก็สลับกันเหมือนกัน ... สรุปคือ เราได้กฎเดิม!!! แน่นอนว่า มันก็ต้องถูกสิ เพราะกฎเดิมมันถูก

แล้วมันมีอะไรดีหละ? ... ลองดูอันนี้ละกัน

(p ∨ q) ∧ ¬p ≡ ¬p ∧ q

สมมติไปเลยละกัน ว่าเราพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริง (จากกฎทั้ง 8 ข้อข้างบนน่ะแหละ) มันแปลว่า เราสามารถใช้กฎทั้ง 8 ข้อนั้น แปลงรูปฝั่งซ้าย ให้กลายเป็นฝั่งขวาได้

แล้ว ... มันจะเกิดอะไรขึ้น ถ้าเราเปลี่ยนหน้าตาเครื่องหมายแบบที่บอกไว้ ???

(p ∧ q) ∨ ¬p ≡ ¬p ∨ q

อันนี้ก็ต้องถูกต้องด้วยน่ะสิ!!! ... ทำไมน่ะเหรอ?

ก็เพราะว่า ... เราสามารถเลือกใช้กฎ ตามขั้นตอนการพิสูจน์ในแบบแรก (ที่เราสมมติว่า พิสูจน์ได้ไปแล้ว) ได้ในการพิสูจน์ประโยคแบบหลัง (คือ ที่สลับเครื่องหมายแล้วหนะ) น่ะสิ แค่เปลี่ยนจาก ถ้าเดิมใช้ข้อที่ 1 ก็ไปใช้ข้อที่ 2 แทน สลับกันแบบเนี้ย

นี่แหละ ที่เราเรียกว่า Duality ใน Boolean Algebra (มันก็คือ พีชคณิตของตรรกศาสตร์เชิงประพจน์แหละ)

ห้อยท้าย: ถ้าไปนั่งคิดดี ๆ จะเห็นว่า ถ้าเราเขียนวรรค จากรูปแบบปกติประพจน์แยก (Disjunctive Normal Form) โดยให้ แต่ละวรรคมีหน้าตาเป็น A ∧ B ∧ C ∧ ... ∧ Z และเชื่อมกันด้วย ∨ การรวม (Resolution) ก็ยังสามารถทำได้เหมือนกันนะ แต่เค้าไม่นิยมกัน (เท่านั้นเอง)