Transformation: Domain, Range and Inverse

ย้ำคำเดิมอีกที ... การแปลง (Transformation) มันก็คือฟังก์ชัน (Function) น่ะแหละ ดังนั้น มันต้องมีโดเมนกับเรนจ์ และอาจจะมีอินเวอร์ส

สมมติให้ T เป็นการแปลงที่มีโดเมนเป็น D และเรนจ์เป็น R

เงื่อนไขการมีอินเวอร์สของการแปลง ก็คือ (ทวนของเก่านิดนึงอะนะ)

1. x, y ∈ D → [T(x) = T(y) ↔ x = y]
2. y ∈ R → จะมี x ∈ D ที่ทำให้ T(x) = y
   

ข้อแรก ก็คือที่เราเรียกกันว่า คุณสมบัติหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-One) และข้อสองก็คือที่เรียกว่า คุณสมบัติทั่วถึง (Onto)

เรามักจะเขียนว่า T:A → B เพื่อบอกว่า A เป็นโดเมนของ T และ เรนจ์ของ T เป็นสับเซตของ B นะ

Bijection

สั้น ๆ ก็คือ "ถ้า T เป็น bijection จาก A ไป B แปลว่า T เป็นฟังก์ชันที่มีอินเวอร์ส"

Finite, Infinitely Countable, Uncountable

1. เซต A จะเป็นเซตจำกัด (Finite) ก็ต่อเมื่อ มันมีจำนวนสมาชิกจำกัดไง ... (จะบอกทำไมเนี่ย - -'')
2. เซตจำกัดทุกเซต นับได้ (Countable)
   
3. เซต A จะเป็นเซตไม่จำกัด แต่นับได้ (Infinitely Countable หรือ Countably Infinite) ถ้าสามารถหา Bijection จาก A ไป Z (เซตของจำนวนเต็มหนะ) ได้
4. เซต A จะเป็นเซตนับไม่ได้ (Uncountable) ถ้ามันไม่จำกัด และนับไม่ได้

ความเป็นจริงบางประการ

1. ถ้า A ⊆ Z และ A เป็นเซตไม่จำกัด แล้ว A จะนับได้
2. Q (เซตของจำนวนตรรกยะ) นับได้
   
3. ถ้า A และ B นับได้ A ∪ B กับ A × B จะนับได้
4. R × A จะนับได้ก็ต่อเมื่อ A = ∅
   
5. ช่วง [a, b] (a, b) [a, b) และ (a, b] จะนับไม่ได้ก็ต่อเมื่อ a < b (คือ โดยทั่วไป มันจะนับไม่ได้หนะ)

ตัวอย่าง Bijection ที่ง่าย ๆ (x กับ y เป็นตัวแปร นอกนั้นเป็นค่าคงที่นะ)

• x + a ⇒ (s, t) → (s + a, t + a)
• ax ⇒ (s, t) → (as, at)
• tan x ⇒ (-π/2, π/2) → (-∞, ∞)
• e^x ⇒ (-∞, ∞) → (0, ∞)
• x + y(y + 1)/2 ⇒ (Z⁺ ∪ {0}) × (Z⁺ ∪ {0}) → (Z⁺ ∪ {0})

ตัวอย่าง Bijection ที่พิเรนทร์นิดนึง

ก่อนจะเอาให้ดู ขอตกลงเครื่องหมายนิดนึงก่อน เพื่อให้เขียนง่ายขึ้น

[P] เมื่อ P เป็น predicate จะมีค่าเป็น 1 ถ้า P เป็นจริง และเป็น 0 ถ้า P เป็นเท็จ

เอาหละ ต่อไปนี้คือ bijection ตัวอย่างอีกตัวนึง

• [x ∈ Z] + x ⇒ [0, ∞) → (0, ∞)

bijection แบบนี้ มีได้อีกหลายแบบนะ แต่ที่ต้องการจะสื่อก็คือ ... เราสามารถหา bijection ที่ถ่ายทอดช่วงเปิดไปปิด หรือปิดไปเปิด หรือครึ่งเปิดครึ่งปิด ยังไงก็ได้

Cardinal Numbers

สำหรับเซตนับได้ Cardinal Number ของมันก็คือ จำนวนสมาชิกนั่นเอง ดังนั้น วิธีเขียน cardinal number ของเซต A ก็คือ |A|

คุณสมบัติสำคัญของ cardinal number ก็คือ ถ้าสามารถหา bijection จาก A ไป B ได้ เราจะรู้ว่า |A| = |B|

สำหรับเซตอนันต์ เค้าก็มีการนิยาม cardinal number ไว้เช่นกัน ดังนี้

|Z| = ℵ₀
|R| = c

โดยที่ ℵ₀ คือ cardinal number ที่น้อยที่สุดของเซตอนันต์ (มันเลยห้อย 0 ไง) จะว่าไปก็คือ Z คือเซตอนันต์ที่ "เล็ก" ที่สุดน่ะแหละ

แล้วเค้าก็มีสมมติฐานอันนึง ชื่อว่า Continuum Hypothesis ซึ่งบอกว่า ไม่สามารถหาเซต A ที่ทำให้ ℵ₀ < |A| < c ได้ ... เน้นว่าเป็น สมมติฐาน นะ เพราะว่า มันไม่สามารถพิสูจน์ได้ (ด้วยระบบเซตแบบ Cantor)

คราวนี้ เราอาจจะสรุปบางอย่างได้สะดวกขึ้น เช่น

• ถ้า a < b แล้ว | (a, b) | = | [a, b) | = | (a, b] | = | [a, b] | = c
  
• |2^Z| = 2^ℵ₀ = c
• c² = c × c > c
• ถ้า |A| = ℵ₀ และ 0 < |B| ≤ ℵ₀ แล้ว |A × B| = ℵ₀
• ถ้า |A| = c และ 0 < |B| ≤ ℵ₀ แล้ว |A × B| = c

แถมทิ้งท้าย เปลี่ยนเรื่องนิดนึง

ลองเอาการแปลงที่เคยพูดถึงแล้ว ในเรื่อง Discrete vs Continuous: ฟังก์ชัน เวกเตอร์ และเมตริกซ์ มาดูกันดีกว่า ว่า อันไหนมีโดเมนกับเรนจ์เป็นอะไรบ้าง (ขอละเว้นกรณีจำนวนเชิงซ้อน กับเงื่อนไขบางอย่าง ทิ้งไปก่อนนะ)

• Discrete Fourier Transform
  ⇒D = {f | f:Z_n → R}, R = D
• Fourier Series
  ⇒D = {f | f:[-L, L] → R}, R = {f | f:Z → R}
• Fourier Transformation
  ⇒D = {f | f:R → R}, R = D
• Generating Function
  ⇒D = {f | f:Z⁺ → R}, R = D
• Z Transformation
  ⇒D = {f | f:Z⁺ → R}, R = D
• Laplace Transformation
  ⇒D = {f | f:R⁺ → R}, R = D

หมายเหตุ: D อันนี้ กับ D ในเรื่อง Discrete vs Continuous: ฟังก์ชัน เวกเตอร์ และเมตริกซ์ มันคนละตัวกันนะ