คำตอบแบบ Analytical และ Numerical

ขอเขียนเรื่องเบา ๆ บ้างละกันนะ (หยั่งงี้เรียกว่าเบายัง ... :P)

หลาย ๆ คนที่รู้อยู่แล้ว ว่าคำตอบของสมการแบบ Analytical กับ Numerical มันต่างกันยังไง จะไม่อ่านก็ได้นะ :D

สมมติเรามีสมการว่า

x² - x - 1 = 0

แล้วเราแยกตัวประกอบไม่เป็น แต่ก็อยากรู้ว่าคำตอบมันเป็นเท่าไหร่ ... ทำไงหละ

ลองแทนค่าไง! ลองซิว่า แทน x = 1 แล้วมันเป็นไง

1² - 1 - 1 = -1

มันได้ -1 แฮะ น้อยไป ... ลองใหม่ให้ x = 2 ซิ

2² - 2 - 1 = 1

ฮ่วย ... คราวนี้เกิน ... อ้อ งี้มันต้องมีคำตอบอยู่ในช่วง (1, 2) แน่ ๆ ลองเอา x = 1.5 ซิ

1.5² - 1.5 - 1 = -0.25

อ่า คราวนี้น้อยไป ... ลองใหม่อีกที เพิ่ม x นิดนึง ... ลองเอา x = 1.6 ซิ

1.6² - 1.6 - 1 = -0.04

โอ้ ... มันเริ่มใกล้แล้ว ... เพิ่ม x อีกนิดหนะ ... x = 1.65

1.65² - 1.65 - 1 = 0.0725

มันเกิน 0 ละ ... ตอนนี้ เราตีช่วงคำตอบได้เป็น (1.6, 1.65) ละ ลองแทนค่า x = 1.62 ซิ

1.62² - 1.62 - 1 = 0.0044

ก็ยังเกิน 0 อยู่ ... ลองอีกที ให้ x = 1.61

1.61² - 1.61 - 1 = -0.0179

คราวนี้ต่ำกว่า 0 ... ยังไม่เลิกน่า ขออีกที เอา 1.615 ไปแทน

1.615² - 1.615 - 1 = -0.006775

เฮ่! พอแล้ว ... ตอนนี้เรารู้แล้วว่า คำตอบอยู่ในช่วง (1.615, 1.62) แน่ ๆ

แสดงว่า ถ้าเราต้องการคำตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง (ในระบบเลขฐาน 10) เราสามารถตอบได้เลยว่า 1.62 แต่ถ้าต้องการละเอียดกว่านี้ ก็ต้องทำหยั่งงี้ไปเรื่อย ๆ คำตอบที่ได้ด้วยวิธีนี้ เราเรียกว่าเป็น Numerical Solution

คราวนี้ เราลองมาแยกตัวประกอบพหุนามของเราดู

คำตอบทั้งสองนี้ เราเรียกว่า Analytical Solution มันจะติดรูท ติดฟังก์ชัน ติดบ้าติดบอ แต่ดูสวย

จากการกดเครื่องคิดเลขแล้ว ... คำตอบหลัง (หนึ่งบวกรูทห้า ทั้งหมดส่วนสอง) จะได้ "ประมาณ" 1.61803398874989... (ทศนิยมไม่รู้จบไม่ซ้ำ) ซึ่งถ้าปัดให้เหลือทศนิยม 2 หลัก มันก็คือ 1.62 น่ะแหละ

แล้ว ... สงสัยมั้ยว่า ... เครื่องคิดเลข มันคิดได้ไงอะ?