Discrete vs Continuous: ฟังก์ชัน เวกเตอร์ และเมตริกซ์

ในตอน Discrete: ฟังก์ชัน เวกเตอร์ และเมตริกซ์ เรารู้ว่าผลคูณเมตริกซ์ ที่แท้ก็คือผลคูณภายในนั่นเอง คราวนี้เราจะมาลองดูว่า ในกรณีของเวกเตอร์ที่มีโดเมนเป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ อะไรคือ เมตริกซ์ และ ผลคูณ ของมันกับเวกเตอร์

คิดว่าเมตริกซ์คือฟังก์ชันสองตัวแปรนะ

จากความเดิมในเรื่อง Discrete: ฟังก์ชัน เวกเตอร์ และเมตริกซ์ สมมติว่า มีเวกเตอร์ f และเมตริกซ์ K ผลคูณก็จะเป็น

F = K ⋅ f

หรือถ้าคิดที่แต่ละตัวของ F ก็จะได้

F(y) = K^T(y) ⋅ f

(K^T คือ transpose ของ K นะ)

คราวนี้ ถ้าคิดผลคูณภายใน เราก็จะได้ว่า

F(y) = Σ_x∈D K^T(y, x) f(x)
เมื่อ D คือ โดเมนของ K^T(y) กับ f ซึ่งนับได้

แต่ถ้า D เป็นเซตอนันต์ที่นับไม่ได้ เราก็จะได้ว่า

F(y) = ∫_x∈D K^T(y, x) f(x) dx

ถ้ามองทั้งสองสมการนี้ เป็นการแปลง T ซึ่งแปลงเวกเตอร์จาก f ไปเป็น F เราจะรู้คุณสมบัติที่สำคัญ 2 อย่าง คือ

T(f + g) = T(f) + T(g)
และ T(cf) = cT(f)
(ไม่พิสูจน์ให้ดูนะ มันง่าย)

ซึ่งก็แสดงว่า T เป็นการแปลงเชิงเส้น (ถ้าลืมว่ามันหมายความว่าไง ลองไปดู Transformation: Abstraction & Overview นะ)

เมื่อมองเป็นการแปลง ทั่ว ๆ ไปคนจะนิยมใช้ตัวแปร "t" กับ "s" มากกว่า...

F(s) = Σ_t∈D K^T(s, t) f(t)
F(s) = ∫_t∈D K^T(s, t) f(t) dt

แล้วก็ D กับ K^T(s, t) ที่นิยมใช้กันก็มี...

• Discrete Fourier Transformation
  → D = Z_n, K^T(s, t) = e^-ist
  
• Fourier Series
  → D = [-L, L], K^T(s, t) = (1/2L)e^-iπst/L
  
• Fourier Transformation
  → D = R, K^T(s, t) = e^-ist
  
• Generating Function (Transformation)
  → D = Z⁺, K^T(s, t) = s^t
  
• Z Transformation
  → D = Z⁺, K^T(s, t) = s^-t
  
• Laplace Transformation
  → D = R⁺, K^T(s, t) = e^-st
  

หมายเหตุ: i = √-1 , R = จำนวนจริง, Z = จำนวนเต็ม, Z_n = {0, 1, 2, ..., n - 1}

จริง ๆ มีมากกว่านี้แหละ แต่ยังไม่พูดถึงละกัน