Transformation: Abstraction & Overview

หัวข้อนี้จะไม่มีเนื้อหาเท่าไหร่นะ เป็นการเกริ่นสำหรับตอนต่อ ๆ ไปมากกว่า

คำว่า Transformation หรือ การแปลง เนี่ย จะว่าเป็นฟังก์ชันก็ไม่เชิงหละ ถ้าคิดไม่มาก เราจะใช้คำว่า การแปลง สลับกับคำว่า ฟังก์ชัน ได้เสมอ หรือพูดง่าย ๆ ว่า "ฟังก์ชัน = การแปลง"

แต่คำว่าการแปลงเนี่ย โดยทั่วไปมักจะแฝงความหมายว่า มีอินเวอร์ส อยู่ด้วย (แต่ก็ไม่เสมอไปนะ)

เซตกำลัง และ ฟังก์ชันของสับเซตของโดเมน

สมมติว่ามีเซต A อยู่ เซตกำลัง (Power Set) ของเซต A ก็คือ

2^A = { X | X ⊆ A }

แล้วคราวนี้ สมมติว่าเรามีการแปลง f:A → B อยู่ ถ้าเรานิยาม F ได้ดังนี้

F(X) = { f(x) | x ∈ A }

จะเห็นว่า F:2^A → 2^B ก็เป็นการแปลงอีกตัวนึง

เนื่องจากในบางบริบท เรารู้อยู่แล้วว่าตัว x ใน f(x) เป็นสมาชิกของ A หรือสับเซตของ A (และไม่เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน) คนส่วนใหญ่ก็เลยใช้เครื่องหมาย f ตัวเดิม (คือ ไม่เปลี่ยนเป็นตัวใหญ่) เพื่อหมายถึง F เช่น

f = { (1, a), (2, b), (3, c) } → f({1, 3}) = {a, c}
เป็นต้น

ตัวอย่างบริบทที่ทำให้เกิดความกำกวม:

f = { (1, a), (2, b), ({1, 2}, c) } → f({1, 2}) = c หรือว่า {a, b} ?
f = { (∅, 1) } → f(∅) = 1 หรือว่า ∅ ?

ประเภทการแปลงที่ได้ยินบ่อย ๆ (เอาแค่นี้ก่อนละกัน)

สมมติว่ามีการแปลง f:A → B

• f จะเป็น Total Function ก็ต่อเมื่อ f(x) มีค่าสำหรับทุก x ∈ A โดยทั่วไป คำว่าฟังก์ชันเฉย ๆ จะหมายถึง Total Function ดังนั้น โดยทั่วไปเราจะคิดว่า A เป็นโดเมนได้เลย
• f จะเป็น Injective Function (หรือ Injection) ก็ต่อเมื่อ ถ้า f(x) = f(y) แล้ว x = y
• f จะเป็น Surjective Function (หรือ Surjection) ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก y ∈ B แล้ว จะสามารถหา x ∈ A ที่ทำให้ f(x) = y ได้
• f จะเป็น Bijective Function (หรือ Bijection) ก็ต่อเมื่อ f เป็น injection และ surjection บางทีเราก็เรียก bijection ว่าเป็น Invertible Function
  
• f จะเป็น Endomorphism ก็ต่อเมื่อ B ⊆ A
• f จะเป็น Automorphism ก็ต่อเมื่อ B = A
• f จะเป็น Homomorphism ก็ต่อเมื่อ f(x + y) = f(x) + f(y)
• f จะเป็น Linear Transformation ก็ต่อเมื่อ f เป็น homomorphism และ A กับ B เป็นเซตของเวกเตอร์ คุณสมบัติที่เพิ่มเข้ามาก็คือ f(cx) = cf(x) เมื่อ c ∈ C (C คือเซตของจำนวนเชิงซ้อนนะ)
• f จะเป็น Affine Transformation ก็ต่อเมื่อ ถ้า a + b = 1 แล้ว f(ax + by) = af(x) + bf(y)
  
• f จะเป็น Orthogonal Transformation ก็ต่อเมื่อ ถ้า x ตั้งฉากกับ y แล้ว f(x) ตั้งฉากกับ f(y)
  
• f จะเป็น Topological Transformation ก็ต่อเมื่อ f เป็น bijection ที่ต่อเนื่อง
  

ตัวอย่างการแปลงเชิงเส้น (Linear Transformation) ที่คุ้นเคย

• การคูณด้วยเมตริกซ์
  
• การหาอนุพันธ์
• การหาผลต่าง
• การอินทิเกรต
• การหาผลบวก

การแปลงเชิงเส้นที่จะพูดถึงในอนาคตอันใกล้ (และยังไม่ได้พูดถึง)

• อนุกรมฟูเรียร์ (Fourier Series)
• การแปลงฟูเรียร์ (Fourier Transformation) = อนุกรมฟูเรียร์แบบ continuous
• ฟังก์ชันก่อกำเนิด (Generating Function) และการแปลง Z (Z Transformation)
• การแปลงลาปลาซ (Laplace Transformation) = การแปลง Z แบบ continuous
  

การแปลงพื้นฐาน สำหรับ Signal & Image Processing (ถ้าจะเอามาเขียน คงไม่ลงรายละเอียดนะ)

• การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete or Fast Fourier Transformation)
• การแปลงเวฟเล็ต (Wavelet Transformation)
• การแปลง Hough (Hough Transformation)

การแปลงอื่น ๆ และเรื่องที่เกี่ยวข้อง

• พิกัดเชิงขั้ว (Polar Coordinate)
• การแทนการหมุนด้วย Quarternion
• แรง Coriolis
• การแปลง Lorentz
• Jacobi
  

รายละเอียดทั่ว ๆ ไปของเรื่องพวกนี้ คงจะไม่เอามาเขียนให้อ่านกันหละ เพราะหาจากที่อื่นได้ไม่ยาก (หนังสือหรือ internet ก็ได้) จะเขียนแต่แนวคิดที่ค่อนข้างพิเศษหนะนะ แต่ถ้าอยากให้เขียนเรื่องไหนเป็นพิเศษก็บอกได้