Discrete: Linear Dependency

จากตอน ตามหาความหมายของ Determinant: Linear Combination เราพอจะสรุปอะไรบางอย่างได้...

ขอนิยาม span แบบใหม่ก่อนทีนึง คราวนี้อาจจะอ่านยากนิดนึงนะ

span(S) = { Σ_u∈S a_uu | a_u ∈ R }

คราวนี้ก็นิยาม Linear Dependency ได้แล้ว (ขอไม่แปลนะ แปลแล้วน่าเกลียดยังไงก็ไม่รู้)

S จะมีคุณสมบัติ Linear Dependency
ก็ต่อเมื่อ
มี u ∈ S ที่ทำให้
u ∈ span(S - {u})

แล้วก็ ตัวตรงข้าม - Linear Independency

S จะมีคุณสมบัติ Linear Independency
ก็ต่อเมื่อ
สำหรับทุก ๆ u ∈ S
u ∉ span(S - {u})

จากแนวคิดแบบค่อย ๆ เพิ่มเข้าไปทีละตัว เราจะรู้ว่า

ถ้า S = { u₁, u₂, u₃, ..., u_n } มีคุณสมบัติ Linear Independency
แล้ว span(S) = Rⁿ
ดังนั้น | u₁ : u₂ : u₃ : ... : u_n | ≠ 0 (จากตอนที่แล้ว)

ตอนนี้เราพิสูจน์อะไรเด็ด ๆ ได้ครึ่งทางละ ขอบอกอะไรนิดนึงก่อน (ไม่น่าจะต้องแสดงวิธีพิสูจน์ให้ดูนะ)

(*) ถ้า u ∈ span(S) แล้ว span(S) = span(S ∪ {u})

แล้วก็คราวนี้ สมมติ S = { u₁, u₂, u₃, ..., u_n } และ S มีคุณสมบัติ linear dependency เราจะรู้ว่า

มี u_i ∈ S ที่ทำให้ u_i ∈ span(S - {u_i})

จากนี้ ถ้าเราเอา u_i ใส่คืนเข้าไป จะเห็น (จาก (*) น่ะนะ) ว่า

span(S - {u_i}) = span(S)

ดังนั้น span(S) ≠ Rⁿ (ไม่เขียนวิธีพิสูจน์ละเอียดนะ) เลยสรุปได้ว่า

| u₁: u₂: u₃ : ... : u_n | = 0

สรุปก็คือ

S = { u₁, u₂, u₃, ..., u_n } มีคุณสมบัติ linear dependency
ก็ต่อเมื่อ
| u₁ : u₂ : u₃ : ... : u_n | = 0

---

อย่าเพิ่งงงชื่อหัวเรื่องอันนี้หละ มันเกี่ยวกับ Discrete vs Continuous ในอนาคต

ขอโทษล่วงหน้านิดนึงนะ ช่วงนี้คงเขียนน้อยลงหน่อยหละ เพราะจะส่งเปเปอร์ปลายสัปดาห์นี้ แล้วปลายเดือนหน้าก็แข่งเปียโนด้วย ไว้เรื่องพวกนี้จบเมื่อไหร่ จะทำสองภาษาเลย :D