Discrete vs Continuous: เทคนิคการหาผลบวก (2)

(ใครยังไม่ได้อ่านตอนแรก โปรดเลื่อนลงไปดูด้วยนะครับ)

คราวก่อน ๆ เรารู้จัก xⁿ ไปแล้ว แต่นั่นเฉพาะตอนที่ n เป็นบวก คราวนี้ลองมาดูตอนที่ n ติดลบบ้าง เรานิยามให้

xⁿ = 1/[x(x + 1)(x + 2)...(x - n - 1)]
เมื่อ n ∈ Z^-

จะเห็นว่า (n < 0 นะ)

Δ(xn)	=	1/[(x + 1)(x + 2)...(x - n)] - 1/[x(x + 1)...(x - n - 1)]
	=	[(x) - (x - n)]/[x(x + 1)(x + 2)...(x - n)(x - n - 1)]
	=	nxn - 1

เหมือนเดิม ลองเอาไปประยุกต์ใช้ง่าย ๆ นะ

Σ 1/[x(x + 1)] δx = Σ x^-2 δx = -x^-1 + c = -1/x + c

แต่คราวนี้โชคร้ายไปหน่อย เพราะว่า 1/x² มันเขียนในรูปของ xⁿ ไม่ได้ เราก็เลยหาผลบวกของ 1/x² ไม่ได้จากสูตรนี้

จบเรื่องที่เราทำไม่ได้ T_T ... มาดูอะไรที่เราทำได้ดีกว่า ลองมาดูฟังก์ชันตรีโกณมั่ง ...

Δ cos ax	=	cos(ax + a) - cos ax
	=	cos ax cos a - sin ax sin a - cos ax
	=	(cos a - 1) cos ax - sin a sin ax	... (1)

สำหรับ sin ก็จะคิดได้ด้วยวิธีเดียวกัน

Δ sin ax	=	sin(ax + a) - sin ax
	=	sin ax cos a + cos ax sin a - sin ax
	=	sin a cos ax + (cos a - 1) sin ax	... (2)

คราวนี้ ถ้าเราอยากรู้ผลบวก ก็ต้องจัดรูปนิดหน่อย ลองกำจัด sin ax ออกไปก่อน โดย...

(cos a - 1) × (1) + (sin a) × (2):

(cos a - 1)Δcos ax + (sin a)Δsin ax	=	[(cos a - 1)2 + sin2a]cos ax
(cos a - 1)Δcos ax + (sin a)Δsin ax	=	2(1 - cos a)cos ax
-Δcos ax + cot(a/2)Δsin ax	=	2cos ax

cos ax = (1/2)[-Δcos ax + cot(a/2)Δsin ax]
เราได้ cos ax ในเทอมของ Δ cos ax กับ Δ sin ax แล้ว คราวนี้ลองหา sin ax บ้างโดย...
(sin a) × (1) - (cos a - 1) × (2):

(sin a)Δcos ax - (cos a - 1)Δsin ax	=	-[(cos a - 1)2 + sin2a]sin ax
(sin a)Δcos ax - (cos a - 1)Δsin ax	=	-2(1 - cos a)sin ax
-cot(a/2)Δcos ax -Δsin ax	=	2sin ax

sin ax = (1/2)[-cot(a/2)Δcos ax - Δsin ax]
จากสมการใหม่สองสมการนี้ ทำให้เรารู้ว่า

Σ cos ax δx = (1/2)[-cos ax + cot(a/2) sin ax] + c

และ

Σ sin ax δx = (1/2)[-cot(a/2) cos ax - sin ax] + c

คราวนี้ อนุกรมตรีโกณแบบง่าย ๆ เราก็แทนสูตรนี้ได้เลย เดี๋ยวลองแทนให้ดูตัวนึงละกัน สมมติว่าเราจะหา

S = sin 0° + sin 1° + sin 2° + sin 3° + ... + sin n°
(sin 0° = 0 นะ จะตัดทิ้งก็ได้)

หมายเหตุ: ° เป็นค่าคงที่ มีค่าเท่ากับ 180/π

ก็แทนค่าลงไปตรง ๆ ได้เลย: F(x) = Σ sin x° δx → S = F(n + 1) - F(0)

จากสูตรข้างบน: F(x) = (1/2)[-cot(0.5°) cos x° - sin x°] + c

ดังนั้น

S = (1/2)[-cot(0.5°) cos(n + 1)° - sin(n + 1)°] - (1/2)[-cot(0.5°)]
= (1/2)[cot(0.5°) (1 - cos(n + 1)°) - sin(n + 1)°]

เป็นสูตรสำเร็จที่เราหาได้ตรง ๆ เลย

นอกจากนี้ เรายังประยุกต์ต่อจากสูตรนี้ เพื่อหา Σ sin(ax + b) δx และ Σ cos(ax + b) δx ได้อีกด้วย (ไปคิดเองละกันนะ ง่าย ๆ)

วันนี้จบแค่นี้จ้า :D