Discrete vs Continuous: ผลต่างกับผลบวก vs อนุพันธ์กับอินทิกรัล

ตอนแรกกะจะให้เรื่องเป็นตอนที่ 3 ของ 1 + 4 + 9 + 16 + ... แต่คิดไปคิดมา เปลี่ยนชื่อดีกว่า เดี๋ยว series นั้นจะไปต่อเป็นอีกแนวนึงนะ แต่ไม่อยู่ใน Discrete vs Continuous แล้วหละ

เดี๋ยวจะแสดงวิธีหาผลบวกง่าย ๆ ให้ดู ตอนนี้ขอนิยามสัญลักษณ์ก่อน (ตาม Knuth นะ)

xⁿ = x(x - 1)(x - 2)...(x - n + 1)
เช่น 10³ = 10 ⋅ 9 ⋅ 8

คราวนี้ ลองหาค่า Δxⁿ ดูนะ (เอาตัวแปร x เป็นตัววิ่ง ทั้งในการหาผลต่างกับการหาอนุพันธ์เลยนะ)

Δxⁿ = (x + 1)ⁿ - xⁿ
Δxⁿ = [(x + 1) - (x - n + 1)]x^{n - 1} = nx^{n - 1}
หน้าตามันคุ้น ๆ มั้ย?... เหมือนกับ (xⁿ)' = nx^{n - 1} ไง

จากตอนที่แล้ว เราจะรู้ว่า

Σ Δf(x) δx = f(x) + c
ดังนั้น

Σ nx^{n - 1} δx = xⁿ + c
หรือก็คือ

Σ xⁿ δx = x^{n + 1} / (n + 1) + c
หน้าตาจะคล้าย ๆ กับ

∫ xⁿ dx = x^{n + 1} / (n + 1) + c
เอาหละ มาลองประยุกต์ใช้ดู

โจทย์เดิมแหละนะ เราอยากจะหาสูตรของ 1² + 2² + 3² + ... + n²

กำหนดให้ f(x) = x² ก่อน
คราวนี้แปลงให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังมีขีดข้างล่าง จะได้ว่า

f(x) = x² + x
เสร็จแล้วก็เริ่มเลย ลองหาค่า Σ f(x) δx ดู

Σ x2 δx	= Σ x2 δx + Σ x δx
	= (1/3)x3 + (1/2)x2 + c
	= (1/3)x(x - 1)(x - 2) + (1/2)x(x - 1) + c
	= x(x - 1)[(1/3)(x - 2) + (1/2)] + c
	= x(x - 1)(2x - 1)/6 + c

จะเห็นว่าได้สูตรเดียวกับครั้งที่แล้วนะ แต่ว่าคราวนี้คิดตรง ๆ เลย

คราวหน้าจะมาต่อเรื่องเทคนิคการหาผลบวก ... คล้าย ๆ กับเทคนิคการอินทิเกรตแหละ แต่ไม่มีกฎลูกโซ่นะ