เรื่องดนตรี - ตัวโน้ต และ โน้ตคู่

ต่อละกัน สองครั้งที่แล้วพูดถึง Pitch กับ Pitch Class คราวนี้ขอร่ายยาวเรื่องโน้ตคู่นะ

คำว่า "ตัวโน้ต" จริง ๆ แล้วมีคุณสมบัติหลายอย่างนะ ทั้งความถี่ ความยาว ความดัง คุณภาพเสียง ฯลฯ แต่ในคราวนี้จะพูดถึงเฉพาะ "ความถี่" นะ

แล้วมันต่างอะไรกับ Pitch? ... จริง ๆ มันไม่ใช่แค่ความถี่หรอกที่เราสนใจ ... เอาเป็นว่า ดูนิยามอันนี้ละกัน

ตัวโน้ต N = (อักษร C D E F G A หรือ B, octave, modulation)
ค่า pitch ของ N (เขียนแทนด้วย |N|_P) จะได้จากการเอาตัวอักษรกับเลข octave มาต่อกัน (ได้เป็น pitch) แล้วบวกด้วย modulation ซึ่งมีค่าได้ตั้งแต่ -1 ถึง 1 เช่น

|(C, 4, 0.5)|_P = C₄ + 0.5 = C^#₄

จะเห็นว่า |(C, 4, 0.5)|_P = |(D, 4, -0.5)|_P แต่ (C, 4, 0.5) ≠ (D, 4, -0.5) (เปรียบเทียบแบบคู่อันดับน่ะ มันจะไม่เท่ากันตั้งแต่ C ≠ D แล้ว)

คราวนี้ ... เพื่อให้สะดวกต่อการเขียนและพูดถึงต่อ ๆ ไป จะกำหนดวิธีเขียน "ตัวโน้ต" ย่อ ๆ แบบนี้

Z^#_n = (Z, n, 0.5)
Z^b_n = (Z, n, -0.5)
Z^x_n = (Z, n, 1)
Z^bb_n = (Z, n, -1)

เมื่อ Z = C D E F G A หรือ B
และ n เป็นจำนวนเต็ม

ตอนนี้สัญลักษณ์นึงของเรา (เช่น C₄^#) มี 2 ความหมายแล้วนะ คือ pitch กับ ตัวโน้ต (C₄^# = (C, 4, 0.5)) ต่อจากนี้ ถ้าจะพูดถึง pitch ของตัวโน้ต N จะเขียนแทนด้วย |N| นะ จะได้แบ่งแยกกันชัด ๆ ไม่คลุมเครือ

Clef Pitch

ก่อนจะพูดถึงโน้ตคู่ ต้องนิยามอะไรอีกอย่างนึงก่อน
clef pitch เป็นคุณสมบัติของตัวโน้ต (X, O, M) มีค่าเท่ากับ

|(X, O, M)|_C = 7 ⋅ O + ค่าประจำตัวอักษร X

ซึ่งค่าประจำตัวอักษรก็คือ

ตัวอักษร	ค่าประจำตัวอักษร
C	0
D	1
E	2
F	3
G	4
A	5
B	6

ถึง M จะเปลี่ยนเป็นค่าอะไรก็ตาม |(X, O, M)|_C ก็จะมีค่าเท่าเดิมถ้า X กับ O ไม่เปลี่ยน

ถ้าจะพูดให้ง่าย ๆ clef pitch ก็คือ ตำแหน่งของหัวตัวโน้ตบนบรรทัดห้าเส้นน่ะแหละ งงมั้ย? ... เอาตัวอย่างละกัน

|C₄|_C = 7 ⋅ 4 + 0 = 28
|E₂^bb|_C = 7 ⋅ 2 + 2 = 16
|F₅^x|_C = 7 ⋅ 5 + 3 = 38

โน้ตคู่

กำหนดให้ N₁ = (X₁, O₁, M₁) และ N₂ = (X₂, O₂, M₂) เป็นตัวโน้ตสองตัว (อาจจะเหมือนกันหรือต่างกันก็ได้) เราจะเรียกคู่อันดับ (N₁, N₂) ว่าเป็นโน้ตคู่ |N₂|_C - |N₁|_C + 1

ตัวอย่างเช่น

(E₄, A₄^#) เป็นโน้ตคู่ 4
(A₄^#, E₅) เป็นโน้ตคู่ 5
(C₀, C₁) เป็นโน้ตคู่ 8

โดยทั่วไปเราจะถือว่า โน้ตคู่มีนิยามเฉพาะกรณีที่ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มบวก

โน้ตคู่เพอร์เฟกต์ (Perfect Interval)

กำหนดให้ N₁ = (X₁, O₁, M₁) และ N₂ = (X₂, O₂, M₂) เป็นตัวโน้ตสองตัว เราจะเรียก (N₁, N₂) ว่าเป็นโน้ตคู่เพอร์เฟกต์ก็ต่อเมื่อ
1. |N₂|_C - |N₁|_C ≡ 0, 3 หรือ -3 (mod 7)
2. |N₂|_P - |N₁|_P ≡ 0, 2.5 หรือ -2.5 (mod 6)
ตามลำดับ (หมายถึง ต้องเป็นคู่ที่ตรงกันในลำดับ เช่น ถ้าในข้อ 1 เป็น 3 ในข้อ 2 ก็ต้องเป็น 2.5 ถึงจะเรียกว่า โน้ตคู่เพอร์เฟกต์)

อันนี้จะเริ่มคิดยากแล้วหละ ตัวอย่างโน้ตคู่เพอร์เฟกต์นะ

(C₄, F₄), (C₃, G₃), (C₂, C₃), (F₃, B₃^b), (G₁^#, D₂^#), (A₅^bb, D₆^bb)

คิดเล่น ๆ (ควรจะรู้ว่าเป็นจริงนะ):
1. พิสูจน์ว่า (N, N) เป็นโน้ตคู่เพอร์เฟกต์
2. พิสูจน์ว่า ((X₁, O, M₁), (X₂, O, M₂)) เป็นโน้ตคู่เพอร์เฟกต์ก็ต่อเมื่อ ((X₂, O, M₂), (X₁, O + 1, M₁)) เป็นโน้ตคู่เพอร์เฟกต์

โน้ตคู่เมเจอร์ (Major Interval)

กำหนดให้ N₁ = (X₁, O₁, M₁) และ N₂ = (X₂, O₂, M₂) เป็นตัวโน้ตสองตัว เราจะเรียก (N₁, N₂) ว่าเป็นโน้ตคู่เมเจอร์ก็ต่อเมื่อ
1. |N₂|_C - |N₁|_C ≡ 1, 2, -1 หรือ -2 (mod 7)
2. |N₂|_P - |N₁|_P ≡ 1, 2, -0.5 หรือ -1.5 (mod 6)
ตามลำดับ

นิยามมันคล้าย ๆ กับโน้ตคู่เพอร์เฟกต์แหละ แต่เลขมันต่างกัน
ลองดูตัวอย่างโน้ตคู่ที่เป็นเมเจอร์นะ...

(C₃, D₃), (C₀, E₄), (C₁, A₃), (C₂, B₂), (B₄, G₅^#), (A₂^b, G₄)

โน้ตคู่ไมเนอร์ (Minor Interval)

กำหนดให้ N₁ = (X₁, O₁, M₁) และ N₂ = (X₂, O₂, M₂) เป็นตัวโน้ตสองตัว เราจะเรียก (N₁, N₂) ว่าเป็นโน้ตคู่ไมเนอร์ก็ต่อเมื่อ
1. |N₂|_C - |N₁|_C ≡ 1, 2, -1 หรือ -2 (mod 7)
2. |N₂|_P - |N₁|_P ≡ 0.5, 1.5, -1 หรือ -2 (mod 6)
ตามลำดับ

อันนี้ก็คล้ายนิยามของโน้ตคู่เมเจอร์ ต่างกันที่ตัวเลขในเงื่อนไขที่ 2 (ลองเปรียบเทียบกับกรณีของเมเจอร์ดูสิ)

เอาตัวอย่างละกัน

(C₃, D₃^b), (C₀, E₄^b), (C₁^#, A₃), (C₂, B₂^b), (B₄, G₅), (A₂, G₄)

คิดเล่น ๆ (ควรจะรู้ว่าเป็นจริงอีกแล้ว):
1. พิสูจน์ว่า ((X₁, O, M₁), (X₂, O, M₂)) เป็นโน้ตคู่เมเจอร์ (ไมเนอร์) ก็ต่อเมื่อ ((X₂, O, M₂), (X₁, O + 1, M₁)) เป็นโน้ตคู่ไมเนอร์ (เมเจอร์)
2. พิสูจน์ว่า ((X₁, O, M₁), (X₂, O, M₂)) เป็นโน้ตคู่ไมเนอร์ก็ต่อเมื่อ ((X₁, O, M₁), (X₂, O, M₂ + 0.5)) เป็นโน้ตคู่เมเจอร์

ตอนนี้พอแค่นี้ก่อนละกัน ยาวแล้ว ... คราวหน้าจะมาต่อเรื่องชนิดของโน้ตคู่อีก 2 ชนิดนะ ชื่อว่า Augmented กับ Diminished