Continuous: ผลคูณภายใน

จากตอน Discrete: ฟังก์ชัน เวกเตอร์ และเมตริกซ์ เรารู้ว่า ถ้า u และ v เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนจำกัดเป็น D แล้ว

u ⋅ v = Σ_x∈D u(x)v(x)

(จริง ๆ D อาจจะเป็นเซตอนันต์ที่นับได้ ก็ได้)

คราวนี้ ถ้า D เป็นเซตอนันต์ที่นับไม่ได้หละ? ... u ⋅ v จะมีค่าที่ไม่ใช่ ∞ ก็ต่อเมื่อ u(x) หรือ v(x) ต้องมีค่าเข้าใกล้ 0

สมมติเลยละกันว่า v(x) = w(x) Δx เมื่อ Δx → 0 (ไม่อยากให้ยาว ใครไม่รู้เรื่องไปลองดูเรื่อง Riemann Integral ก่อนนะ) เราก็จะได้ว่า

u ⋅ v = lim_Δx→0 Σ_x∈D(Δx) u(x)w(x) Δx

เมื่อ D(Δx) คือโดเมนที่เกิดจากการซอยย่อยโดเมนเดิม เช่น

ถ้า D(1) = {0, 1, 2, 3, ...}
จะได้ D(0.5) = {0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, ...}
D(0.25) = {0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2, ...}
เป็นต้น

ถ้าเราให้ D = lim_Δx→0 D(Δx) จะได้ว่า

u ⋅ v = ∫_x∈D u(x)w(x) dx

เพื่อให้สะดวก เราจะเขียนใหม่เลยว่า

u ⋅ v = ∫_x∈D u(x)v(x) dx

สังเกตว่า ของเดิม v(x) มีค่าเข้าใกล้ศูนย์ แต่ตอนนี้ไม่ใช่แล้ว

เราเรียกตัวนี้ว่า ผลคูณภายใน ของ u กับ v ในกรณีที่โดเมนเป็นเซตนับไม่ได้