Continuous: Linear Dependency

ขอทวนความรู้ในตอนอื่นนิดนึงนะ เราจะเรียกการแปลง f:A → B ว่าเป็น การแปลงเชิงเส้น (Linear Transformation) ก็ต่อเมื่อ

f(x + y) = f(x) + f(y)
และ
f(cx) = cf(x)

จากนิยามของ Linear Combination ถ้า

w = au + bv
เมื่อ a, b ∈ R

หรือก็คือ

w ∈ span({u, v})

เราจะบอกว่า w เป็น ผลรวมเชิงเส้น (Linear Combination) ของ u กับ v

คราวนี้ ถ้าเราจะบอกว่า {u, v} มีคุณสมบัติ Linear Dependency หรือไม่ เราก็ต้องตรวจสอบว่า | u : v | = 0 รึเปล่า

ข้อจำกัดของวิธีนี้ก็คือ u และ v จะต้องมีจำนวนมิติเท่ากับ 2 เท่านั้น แต่ถ้า u กับ v ของเรามีโดเมนที่มากกว่านี้หละ เราจะทำยังไง?

วิธีแก้ก็คือ ... สมมติว่าเรามีการแปลงเชิงเส้น ชื่อว่า f เราจะรู้ว่า

ถ้า w = au + bv
แล้ว f(w) = af(u) + bf(v)

เพื่อให้เขียนง่าย ๆ หน่อย เราจะกำหนดให้

u' = f(u)
v' = f(v)
w' = f(w)

ซึ่งแปลว่า ถ้าเรากำหนดเวกเตอร์ใหม่กลุ่มนึง ชื่อว่า p(x) กับ q(x) ดังนี้

p(x) = ( u(x), u'(x) )
q(x) = ( v(x), v'(x) )

ข้อสรุปที่เราจะได้ก็คือ (f ต้องเป็นตามเงื่อนไขบางอย่างด้วย ... ไว้พูดถึงทีหลังนะ)

ถ้า {u, v} มีคุณสมบัติ Linear Dependency แล้ว {p(x), q(x)} ก็จะมีด้วยสำหรับทุก x (ที่อยู่ในโดเมนของ u กับ v)

และ

ถ้า {u, v} มีคุณสมบัติ Linear Independency แล้ว {p(x), q(x)} ก็จะมีด้วยสำหรับทุก x

ซึ่งเมื่อรวมกัน จะได้

"{u, v} มีคุณสมบัติ Linear Dependency ก็ต่อเมื่อ {p(x), q(x)} มีคุณสมบัติ Linear Dependency สำหรับทุก x"

จริง ๆ แล้ว วิธีนี้สามารถใช้กับเวกเตอร์มากกว่า 2 ตัวได้ด้วย แต่เราก็ต้องหา f₂ f₃ ... f_{n - 1} ตัวอื่น ๆ (เดี๋ยวจะพูดถึงวิธีเลือก)

สังเกตว่า ข้อสรุปนี้ทำให้เราสามารถตรวจสอบ Linear Dependency ของกลุ่มเวกเตอร์ที่มีโดเมนเป็นอนันต์ได้ด้วย

ตัวอย่างการใช้งานที่รู้จักกันดีก็คือ Wronskian ซึ่งเป็นกรณีที่ f_i(x) คือ อนุพันธ์อันดับที่ i ของ x เช่น

u(x) = 2x + 1
v(x) = x² - x
w(x) = 2x² + 1

เราอยากรู้ว่า {u, v, w} มีคุณสมบัติ Linear Dependency หรือไม่ เราจะใช้ Wronskian ได้เพราะว่าเวกเตอร์ทั้งสามนี้มีอนุพันธ์ที่ทุกจุดที่เราสนใจ เริ่มโดยหาอนุพันธ์อันดับต่าง ๆ ของเวกเตอร์ทั้งสามก่อน

u'(x) = 2
v'(x) = 2x - 1
w'(x) = 4x

u''(x) = 0
v''(x) = 2
w''(x) = 4

คราวนี้ เราก็สร้างเวกเตอร์ p(x) q(x) และ r(x) ดังนี้

p(x) = (u(x), u'(x), u''(x)) = (2x + 1, 2, 0)
q(x) = (v(x), v'(x), v''(x)) = (x² - x, 2x - 1, 2)
r(x) = (w(x), w'(x), w''(x)) = (2x² + 1, 4x, 4)

คราวนี้เราก็หาค่า Wronskian สำหรับแต่ละค่า x ดังนี้

W(x) = | p(x) : q(x) : r(x) |

พอแทนค่าลงไป จะได้

W(x)	=	4(2x + 1)(2x - 1) + 4(2x2 + 1)
		- 8x(2x + 1) - 8(x2 - x)
	=	16x2 - 4 + 8x2 + 4 - 16x2 - 8x - 8x2 + 8x
	=	0

เราจึงสรุปได้ว่า {u, v, w} มีคุณสมบัติ Linear Dependency

นอกจากการใช้ Wronskian เราอาจจะหา f_i ตัวอื่น ๆ มาแทนได้ เช่น Δ ลองคิดในตัวอย่างอันเดิม ก็จะได้ว่า

Δu(x) = 2
Δv(x) = 2x
Δw(x) = 4x + 2

Δ²u(x) = 0
Δ²v(x) = 2
Δ²w(x) = 4

แล้วก็สร้าง p(x) q(x) r(x) เหมือนเดิม

p(x) = (u(x), Δu(x), Δ²u(x)) = (2x + 1, 2, 0)
q(x) = (v(x), Δv(x), Δ²v(x)) = (x² - x, 2x, 2)
r(x) = (w(x), Δw(x), Δ²w(x)) = (2x² + 1, 4x + 2, 4)

แล้วก็หา | p(x) : q(x) : r(x) | สำหรับแต่ละค่า x (ยืมเครื่องหมาย W(x) จาก Wronskian มาละกันนะ)

W(x)	=	8x(2x + 1) + 4(2x2 + 1)
		- 2(2x + 1)(4x + 2) - 8(x2 - x)
	=	16x2 + 8x + 8x2 + 4 - 16x2 - 16x - 4 - 8x2 + 8x
	=	0

นอกจากนี้ เราจะลองให้ f₁ = d/dx และ f₂ = Δ ก็ได้ คราวนี้ p(x) q(x) r(x) จะเปลี่ยนเป็น

p(x) = (u(x), u'(x), Δu(x)) = (2x + 1, 2, 2)
q(x) = (v(x), v'(x), Δv(x)) = (x² - x, 2x - 1, 2x)
r(x) = (w(x), w'(x), Δw(x)) = (2x² + 1, 4x, 4x + 2)

ซึ่ง (ไปลองทด ๆ ดูเองละกันนะ) | p(x) : q(x) : r(x) | = 0 สำหรับทุก x

จะเห็นว่า เพียงแค่เลือก f_i ให้ใช้งานได้ เราก็จะตรวจสอบ Linear Dependency ได้ ไม่ว่าโดเมนของเวกเตอร์ จะเป็นเซตจำกัด เซตอนันต์นับได้ หรือเซตนับไม่ได้

การเลือก f_i

ในกรณีที่เวกเตอร์ของเรามีโดเมนเป็นจำนวนเต็ม (นับได้) ตัวเลือกที่นิยมคือ f_i = Δⁱ หรือ Eⁱ (เผื่อลืม... Eu(x) = u(x + 1) นะ)

ส่วนกรณีที่โดเมนเป็นช่วง (คือนับไม่ได้) ตัวเลือกที่นิยมคือ f_i = (d/dt)ⁱ (ผลลัพธ์เป็น Wronskian)

แต่จริง ๆ แล้ว เราสามารถเลือก f อื่น ๆ ได้อีกมากมาย ... ขอกำหนดสัญลักษณ์อีกตัวนึงก่อนนะ

E^ru(x) = u(x + r)
เมื่อ r ∈ R

คราวนี้ แค่เราเลือกให้

f_i = E^r(i)
โดยที่ r(i) = r(j) ก็ต่อเมื่อ i = j

ก็จะใช้กับเวกเตอร์ที่มีโดเมนเป็นอนันต์แล้ว

นอกจากนี้ ถ้าสังเกตดี ๆ จะเห็นว่า

Δ = E - 1
d/dx = lim_r→0 (E^r - 1)/r

ซึ่งถ้าคิดขยายไปเรื่อย ๆ แล้ว เราจะสรุปกรณีที่กว้างกว่าได้ว่า

ถ้า P_i(x) เป็นฟังก์ชัน โดยที่ { P_i(x) | i = 0, 2, ..., n - 1 } มีคุณสมบัติ Linear Independency สำหรับทุก x ∈ R แล้ว f_i = P_i(E) จะเป็นการแปลงที่ใช้ตรวจสอบ Linear Dependency ของเวกเตอร์ได้

จบและ ... ยาวเนอะ