Discrete vs Continuous: สมการผลต่างและสมการอนุพันธ์

หลุดจากหัวข้อนี้ไปนาน ยังไม่ลืมหรอกนะ :D ... ขอโทษอีกทีที่ไม่ได้ update ทุกวันนะ ช่วงนี้ไม่ค่อยมีเวลาได้ต่อเน็ตหนะ

Continuous

เริ่มเลยละกันนะ ... สมมติว่า y เป็นฟังก์ชันของ x ก่อน แล้วก็ มี สมการอนุพันธ์ (Differential Equation) ต่อไปนี้

y' = f(x)

เราก็จะสามารถหา y(x) ได้เท่ากับ

y = ∫_k≤t<x f(t) dt + c

เมื่อ k กับ c เป็นค่าคงที่

Discrete

ในลักษณะเดียวกัน ถ้าเรามี สมการผลต่าง (Difference Equation) ต่อไปนี้

Δy = f(x)

ค่า y(x) ก็จะหาได้จาก

y = Σ_k≤t<x f(t) δt + c

เหมือนกัน

Continuous

คราวนี้ สมมติว่า D = d/dx ... สมการอนุพันธ์ แบบต่อไปที่แก้ง่าย ๆ ก็จะมีหน้าตาประมาณนี้ (เอาดีกรี 2 ก่อนนะ)

D²y + aDy + by = 0

เมื่อ a และ b เป็นค่าคงที่

วิธีแก้สมการนี้ ก็ทำได้ง่าย ๆ โดยการคาดคะเนว่า รูปของคำตอบจะเป็น y = e^mx แล้วแทนค่าลงไป ผลลัพธ์ก็คือ ...

(m² + am + b)y = 0

เนื่องจาก เราไม่ต้องการคำตอบที่ว่า y ≡ 0 ก็เลยเอา y ออกไปได้ กลายเป็นสมการนี้ ...

m² + am + b = 0

สมการพหุนามกำลังสองอันนี้ จะมีคำตอบ m อยู่สองค่า สมมติให้เป็น m₁ กับ m₂ นะ

ถ้า m₁ ≠ m₂ จะได้คำตอบของสมการอนุพันธ์เป็น

y = c₁e^m₁x + c₂e^m₂x

แต่ถ้า m₁ = m₂ จะได้คำตอบเป็น

y = c₁e^m₁x + c₂xe^m₁x

Discrete

ในลักษณะเดียวกัน ถ้าเรามี สมการผลต่าง ต่อไปนี้

Δ²y + aΔy + by = 0

เราจะพยายามเดารูปคำตอบ ที่ทำให้ Δy = my ...

เริ่มจาก

Δa^x = (a - 1) a^x

เราก็สมมติให้ m = a - 1 และ y = (m + 1)^x จะเห็นว่า

y = (m + 1)^x
Δy = m (m + 1)^x = my
Δ²y = m² (m + 1)^x = m²y

คราวนี้ พอแทนค่ากลับลงไปในสมการดั้งเดิม ก็จะได้

m² + am + b = 0

สมการนี้ เหมือนกับในกรณี Continuous เด๊ะเลย (ก็เราจงใจให้มันเป็นงี้หนิ) ถ้าแก้สมการออกมาจะได้ 2 คำตอบ สมมติให้เป็น m₁ กับ m₂ นะ

ถ้า m₁ ≠ m₂ จะได้คำตอบของสมการผลต่างเป็น

y = c₁(m₁ + 1)^x + c₂(m₂ + 1)^x

แต่ถ้า m₁ = m₂ จะได้คำตอบเป็น

y = c₁(m₁ + 1)^x + c₂x(m₁ + 1)^x

Discrete: Recurrence Relation

หลาย ๆ คนคงจะคุ้นเคยกับลำดับ Fibonacci นี่นะ

a_n+2 = a_n+1 + a_n

คราวนี้ ถ้าเราเปลี่ยนหน้าตาตัวแปรซักนิด ให้ n → x แล้วก็ให้ a → y จะเห็นว่า

y(x + 2) = y(x + 1) + y(x)

หรือ ถ้าเขียนใหม่อีกนิดนึงด้วยตัว E จะเป็น

E²y = Ey + y
E²y - Ey - y = 0

หน้าตามันคล้าย ๆ กับสมการผลต่างเลยนะเนี่ย ... งั้น เดี๋ยวเราจะลองแก้สมการนี้เลยดีกว่า

E²y + aEy + by = 0

ถ้าให้ a = b = -1 ก็จะเป็นความสัมพันธ์ Fibonacci นั่นแหละ

คราวที่แล้ว เราเดารูปคำตอบที่ทำให้ Δy = my ... คราวนี้ ลองเดาให้ Ey = my สิ ... ดูมันจะง่ายกว่าเมื่อกี๊อีกนะเนี่ย เพราะว่า

Ea^x = a⋅a^x

ถ้าให้ m = a และ y = a^x เราจะได้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้

Ey = my
E²y = m²y

แทนกลับลงไปในสมการตั้งต้น จะได้

m² + am + b = 0

เห็นมาสามรอบละ ... สมมติว่า รากทั้งสองของสมการนี้คือ m₁ กับ m₂ เราก็จะสรุปได้คล้าย ๆ เดิม คือ

ถ้า m₁ ≠ m₂ จะได้คำตอบของสมการดั้งเดิมเป็น

y = c₁m₁^x + c₂m₂^x

แต่ถ้า m₁ = m₂ จะได้คำตอบเป็น

y = c₁m₁^x + c₂xm₁^x

รู้สึกว่า หน้าตามันจะคล้ายกับกรณี continuous มากขึ้นนิดนึงเนอะ

Laplace Transformation

แถมนิดนึงละกัน เพราะว่า Laplace Transformation ก็เป็นเครื่องมืออย่างนึง สำหรับแก้สมการอนุพันธ์

หลักการก็คือ แปลงสมการเริ่มต้นด้วย Laplace Transformation ทีนึง แก้หาคำตอบในโดเมนใหม่ แล้วแปลงกลับด้วย Inverse Laplace Transformation

ตามความนิยม ตัวแปร x ที่เราใช้ ๆ กันเมื่อกี๊ เค้ามักจะเขียนด้วยตัว t แทนนะ เวลาพูดถึง Laplace Transformation หนะ

t domain differential equation
↓ L Transform ↓
s domain polynomial equation
↓ Solving ↓
s domain solution
↓ L^-1 Transform ↓
t domain solution

นิยามของ Laplace Transformation ของฟังก์ชัน f(t) ก็คือ

L[f(t)] = F(s) = ∫_0≤t<∞ f(t) e^-st dt

Z Transformation

Z Transformation ก็คือ Laplace Transformation ในภาคไม่ต่อเนื่องน่ะแหละ มันเอาไว้แก้สมการ E ได้ วิธีทำก็เหมือนกันเลย แต่นิยามต่างกันนิดนึง คือ

Z[f(t)] = F(z) = Σ_0≤t<∞ f(t) z^-t

ที่ใช้ตัว z ก็เพราะความนิยมเหมือนกันอะนะ จริง ๆ จะเขียนเป็น s ก็ได้

Generating Function

ด้วยความนิยมอีกด้านนึง Generating Function ถูกสร้างขึ้นมาจากคนละทิศทางกับ Z Transformation แต่ไป ๆ มา ๆ มันก็คืออันเดียวกันน่ะแหละ แค่มีการเปลี่ยนหน้าตานิดหน่อย คือ

G[f(t)] = F(s) = Σ_0≤t<∞ f(t) s^t

มันต่างกับ z แค่ว่า เลขชี้กำลังของ s มันเป็น +t แต่เลขชี้กำลังของ z มันเป็น -t ซึ่งถ้าให้ s = 1/z มันก็จะเหมือนกันเด๊ะเลย

ดังนั้น วิธีใช้งาน Generating Function กับ Z Transformation ก็เลยเหมือนกันทุกประการ

และ ... แนวคิดนี้ มันก็แนะนำเราว่า ถ้าเราให้ s' = 1/s ใน Laplace Transformation มันก็จะใช้งานได้เหมือนกันนะ