Center of Mass & Centroid - Polyhedron

คราวที่แล้ว (เรื่อง Center of Mass & Centroid - Polygon) เราได้แนวคิดการหา centroid ของ polygon แล้ว การขยายเป็น 3 มิติ ก็ทำเหมือน ๆ กันแหละ

การหา centroid ของ polyhedron เราจะใช้แนวคิดจากเรื่อง ต่อจากสูตรเมื่อสมัยเด็ก - ปริมาตรของ Tetrahedron ผนวกกับความจริงที่ว่า

"Centroid ของ Tetrahedron คือ Centroid ของจุดยอดทั้งสี่ของมัน"

ดังนั้น วิธีหา centroid ของ polyhedron ก็คล้าย ๆ กับการหาปริมาตรมันน่ะแหละ เพียงแต่ต้องเอา centroid ของ tetrahedron แต่ละชิ้นเข้าไปคูณด้วย ... สูตรสำเร็จหน้าตาหยั่งงี้

สมมติว่า tetrahedron มีจุดยอดคือ P Q R S

ให้ a = | P : Q : R |
b = | Q : R : S |
c = | R : S : P |
d = | S : P : Q |
C = (a(P + Q + R) + b(Q + R + S) +
c(R + S + P) + d(S + P + Q)) /4(a + b + c + d)

C ก็คือ centroid ของ tetrahedron หนะนะ

คราวนี้ ถ้าเรามี polyhedron ... เราก็สามารถแบ่งมันเป็น tetrahedron หลาย ๆ อันได้ แล้วก็หา centroid ของ tetrahedron เหล่านั้น เอามารวมกันแบบถ่วงน้ำหนักด้วยปริมาตรของมัน แต่การคิดมันจะไม่ง่ายเหมือนกับกรณีของ polygon แล้ว ต้องใช้ความระมัดระวังใน การรวมเข้าหักออก เหมือนกับในการหาปริมาตรของ tetrahedron

แล้วก็ ถึงจะขยายไปเป็นกี่มิติก็ตาม เราก็ใช้หลักการที่ว่า

"Centroid ของ รูปพื้นฐานใน n มิติ ก็คือ Centroid ของจุดยอดทั้งหมด n + 1 จุดของมัน"

แล้วคิดในลักษณะเดียวกัน