Thursday, November 03, 2005

Transformation: Linear Transformation

ปริภูมิเวกเตอร์ (Vector Space)

ปริภูมิเวกเตอร์ จะถูกนิยามด้วย 6 สิ่ง คือ
  • เซตของเวกเตอร์ V
  • การบวกของเวกเตอร์ +V
  • การคูณเวกเตอร์ด้วยสัมประสิทธ์ *V
  • เซตของสัมประสิทธิ์ F
  • การบวกของสัมประสิทธ์ +F
  • การคูณของสัมประสิทธ์ *F
โดยที่ (F, +F, *F) มีคุณสมบัติเป็น ฟิลด์ (Field) คือ
  • ถ้า x, y ∈ F แล้ว x +F y ∈ F และ x *F y ∈ F
  • ถ้า x, y, z ∈ F แล้ว x +F (y +F z) = (x +F y) +F z และ x *F (y *F z) = (x *F y) *F z
  • ถ้า x, y ∈ F แล้ว x +F y = y +F x และ x *F y = y *F x
  • มีสมาชิก 0F ∈ F เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x +F 0F = x
  • มีสมาชิก 1F ∈ F เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x *F 1F = x
  • ถ้า x ∈ F แล้ว จะมี (-x) ∈ F เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x +F (-x) = 0F
  • ถ้า x ∈ F - { 0F } แล้ว จะมี (1/x) ∈ F เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x *F (1/x) = 1F
และเงื่อนไขต่อไปนี้ เป็นจริง
  • ถ้า x, y ∈ V และ c ∈ F แล้ว x +V y ∈ V และ c *V x ∈ V
  • ถ้า x, y, z ∈ V แล้ว x +V (y +V z) = (x +V y) +V z
  • ถ้า x, y ∈ V แล้ว x +V y = y +V x
  • มีสมาชิก 0V ∈ V เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x +V 0V = x
  • ถ้า x ∈ V แล้ว จะมี (-x) ∈ V เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x +V (-x) = 0V
  • ถ้า x ∈ V และ a, b ∈ F แล้ว a *V (b *V x) = (a *F b) *V x
  • ถ้า x ∈ V แล้ว 1F *V x = x
  • ถ้า x, y ∈ V และ c ∈ F แล้ว c *V (x +V y) = (c *V x) +V (c *V y)
  • ถ้า x ∈ V และ a, b ∈ F แล้ว (a +F b) *V x = (a *V x) +V (b *V x)
ความนิยม
  • เนื่องจาก การคูณและบวกที่ห้อย V กับ F จะทำได้เฉพาะกับสมาชิกที่มาจากเซตต่างกัน เราสามารถตัดตัวห้อยทิ้ง แล้วก็ยังเข้าใจถูกต้องอยู่
  • เราสามารถตัดเครื่องหมายการคูณทิ้งได้ด้วย โดยใช้การเขียนติดกันแทน
  • 0V เราจะใช้ตัวหนาเขียนแทน เป็น 0 เพื่อให้ สามารถเขียน 0 และ 1 แทน 0F และ 1F ได้ ตามลำดับ
  • เขียนแทน a + (-b) ด้วย a - b เพื่อให้สั้นลง
  • เขียนแทน a(1/b) ด้วย a/b เพื่อให้สั้นลง
  • เมื่อไม่เขียนวงเล็บ ให้คิดการคูณก่อนการบวก และคิดจากซ้ายไปขวาเสมอ
  • ตัวแปรที่เป็นสมาชิกของ V จะเขียนด้วยตัวหนา
การแปลงเชิงเส้น (Linear Transformation)

ถ้า f:V → W เป็นการแปลงเชิงเส้น (Linear Transformation) และ V กับ W เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งมีฟิลด์ของสัมประสิทธิ์เดียวกันคือ F
  • สำหรับ x ∈ A และ y ∈ A ทุกตัว: f(x + y) = f(x) + f(y) ∈ B
  • สำหรับ x ∈ A และ c ∈ F: f(cx) = cf(x) ∈ B
สิ่งที่รู้ทันที คือ
f(0V) = 0W
เราก็เลย เขียนว่า 0 เฉย ๆ ได้ พิสูจน์ได้ ไม่ยากหรอก

Kernel และ Image

เมื่อไหร่ที่เราพูดถึง homomorphism (และ linear transformation) จะต้องมีคำศัพท์ที่เรายุ่งด้วย 2 คำ คือ Kernel และ Image เสมอ ๆ

kernel ของ f = { x ∈ V | f(x) = 0 }
image ของ f = { f(x) | x ∈ V }

ความจริงที่สิ่งสำคัญมาก ๆ อย่างนึงก็คือ kernel ของ f เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ย่อย (Vector Subspace) ของ V ซึ่งก็คือ ถ้าเราเอา kernel ของ f ไปใส่แทน V ในเงื่อนไขต่าง ๆ ของปริภูมิเวกเตอร์ ที่เขียนไว้ข้างบน มันก็จะเป็นจริงทั้งหมดเช่นกัน

ตัวอย่าง: ให้ K = kernel ของ f

x, y ∈ K ⇒ f(x) = f(y) = 0
ดังนั้น f(x + y) = 0 + 0 = 0
แสดงว่า x + y ∈ K ด้วย

เงื่อนไขอื่น ๆ ก็พิสูจน์ได้ด้วยวิธีคล้าย ๆ กัน

Quotient Subspaces

เนื่องจาก ปริภูมิเวกเตอร์ มีคุณสมบัติการสลับที่การบวก ดังนั้น เราอาจจะมองว่า (V, +) เป็น กรุปอาบีเลียน (Abelian Group) ซึ่ง คุณสมบัตินี้ ทำให้ กรุปย่อย (Subgroup) ทุกอันของ V เป็น กรุปย่อยปกติ (Normal Subgroup) ด้วย (ใครอ่านอันนี้ไม่รู้เรื่อง ช่างมันไปก่อน)

ผลก็คือ เราจะสามารถหา coset (ไม่ต้องไปสนชื่อมันก็ได้) ต่อไปนี้ได้

q(x) = { k + x | k ∈ K }
เมื่อ x ∈ V

เพื่อความสะดวก เราจะเขียนแทน q(x) ด้วยสัญลักษณ์นี้

q(x) = K + x

คราวนี้ ถ้าเรานิยามการบวกและคูณ สำหรับ q(x) ต่าง ๆ ใหม่ แบบนี้

(K + x) + (K + y) = K + (x + y)
c(K + x) = K + cx

และให้เอกลักษณ์ของการบวก คือ
K + 0 = 0K = K

เราจะพิสูจน์ได้ว่า เซตของ q(x) และเครื่องหมายบวกกับคูณแบบใหม่นี้ ก็เป็นปริภูมิเวกเตอร์เช่นกัน เรามักจะเขียนเซตของ q(x) ทั้งหมด ว่า V/K

Isomorphisms

Isomorphism ของ ปริภูมิเวกเตอร์ ก็คือ การแปลงเชิงเส้นที่มีคุณสมบัติ 1-1 และทั่วถึงน่ะแหละ

ปริภูมิเวกเตอร์ A และ B จะ Isomorphic กัน ก็ต่อเมื่อ มี isomorphism จาก A ไป B

ที่อยากจะบอกก็คือ V/K เนี่ย isomorphic กับ image ของ f นะ

พิสูจน์ยังไงน่ะหรอ? เราก็สร้าง isomorphism φ ขึ้นมาอันนึง แบบนี้

φ(K + x) = f(x)

คราวนี้ เราจะบอกว่า φ มันมีคุณสมบัติ 1-1 ได้โดย

สมมติว่า φ(K + x) = φ(K + y)
แสดงว่า f(x) = f(y)
ซึ่งทำให้ f(x) - f(y) = 0
f(x - y) = 0 = φ(K + (x - y))
แต่จากนิยามของ K เมื่อ f(x - y) = 0 แสดงว่า x - y ∈ K = 0K
ทำให้ K + (x - y) = 0K
(K + x) - (K + y) = 0K
K + x = K + y

การพิสูจน์ว่า φ มีคุณสมบัติทั่วถึง จะง่ายกว่า คือทำแบบนี้

สมมติว่า y ∈ image ของ f
เราจะรู้ว่า ต้องมี x ∈ V ที่ทำให้ f(x) = y
ดังนั้น K + x ∈ V/K จะทำให้ φ(K + x) = y แน่นอน

คุณสมบัติอื่น ๆ ไม่พูดถึงแล้วนะ ไปพิสูจน์กันเอาเอง

Cardinal Numbers

สมมติว่า W = image ของ f เราจะรู้สิ่งที่สำคัญมาก ๆ ก็คือ

|V| = |K| × |W| = |K| × |V/K|

เมื่อ | ... | หมายถึง cardinal number

Dimensions

ใครที่เรียน linear algebra คงพอจะรู้ว่า dimension คืออะไรนะ

ยกตัวอย่างคร่าว ๆ ละกัน

dim R = 1
dim R2 = 2
dim R3 = 3
...
dim Rn = n

dim span( { (1, 1), (1, 0) } ) = 2
dim span( { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) } ) = 3
dim span( { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1) } = 2
dim span( { (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3) } = 1

จะว่าไป dimension มันก็ คล้าย ๆ กับ เอาขนาดของเซต ใส่ log ฐาน c = |R| เลย ... เราก็เลยได้ความสัมพันธ์คล้าย ๆ กัน แบบนี้

จาก |V| = |K| × |W|

ใส่ logc เมื่อ c = |R| เข้าไปทั้งสองข้าง จะได้

logc|V| = logc(|K| × |W|)
logc|V| = logc|K| + logc|W|
dim V = dim K + dim W

5 Comments:

At 11/10/2005 1:38 AM, Anonymous Anonymous said...

เก่งดีครับ
ควรฝากความรู้นี้ไว้แก่โลกมาก
:)

 
At 11/11/2005 3:02 PM, Blogger JoopIE said...

ม่ายรู้เรื่อง

 
At 11/16/2005 7:53 AM, Anonymous Anonymous said...

ยากกว่านี้มีอีกป่ะ

 
At 11/19/2005 2:49 AM, Blogger Tunococ said...

มีดิ :D

 
At 12/16/2009 9:38 AM, Anonymous Anonymous said...

มีอีกป่าวง่า

 

Post a Comment

<< Home