Transformation: Linear Transformation

ปริภูมิเวกเตอร์ (Vector Space)

ปริภูมิเวกเตอร์ จะถูกนิยามด้วย 6 สิ่ง คือ

• เซตของเวกเตอร์ V
• การบวกของเวกเตอร์ +_V
• การคูณเวกเตอร์ด้วยสัมประสิทธ์ *_V
  
• เซตของสัมประสิทธิ์ F
• การบวกของสัมประสิทธ์ +_F
• การคูณของสัมประสิทธ์ *_F

โดยที่ (F, +_F, *_F) มีคุณสมบัติเป็น ฟิลด์ (Field) คือ

• ถ้า x, y ∈ F แล้ว x +_F y ∈ F และ x *_F y ∈ F
• ถ้า x, y, z ∈ F แล้ว x +_F (y +_F z) = (x +_F y) +_F z และ x *_F (y *_F z) = (x *_F y) *_F z
• ถ้า x, y ∈ F แล้ว x +_F y = y +_F x และ x *_F y = y *_F x
• มีสมาชิก 0_F ∈ F เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x +_F 0_F = x
• มีสมาชิก 1_F ∈ F เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x *_F 1_F = x
• ถ้า x ∈ F แล้ว จะมี (-x) ∈ F เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x +_F (-x) = 0_F
• ถ้า x ∈ F - { 0_F } แล้ว จะมี (1/x) ∈ F เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x *_F (1/x) = 1_F

และเงื่อนไขต่อไปนี้ เป็นจริง

• ถ้า x, y ∈ V และ c ∈ F แล้ว x +_V y ∈ V และ c *_V x ∈ V
• ถ้า x, y, z ∈ V แล้ว x +_V (y +_V z) = (x +_V y) +_V z
• ถ้า x, y ∈ V แล้ว x +_V y = y +_V x
• มีสมาชิก 0_V ∈ V เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x +_V 0_V = x
• ถ้า x ∈ V แล้ว จะมี (-x) ∈ V เพียงตัวเดียว ที่ทำให้ x +_V (-x) = 0_V
• ถ้า x ∈ V และ a, b ∈ F แล้ว a *_V (b *_V x) = (a *_F b) *_V x
• ถ้า x ∈ V แล้ว 1_F *_V x = x
• ถ้า x, y ∈ V และ c ∈ F แล้ว c *_V (x +_V y) = (c *_V x) +_V (c *_V y)
• ถ้า x ∈ V และ a, b ∈ F แล้ว (a +_F b) *_V x = (a *_V x) +_V (b *_V x)

ความนิยม

• เนื่องจาก การคูณและบวกที่ห้อย V กับ F จะทำได้เฉพาะกับสมาชิกที่มาจากเซตต่างกัน เราสามารถตัดตัวห้อยทิ้ง แล้วก็ยังเข้าใจถูกต้องอยู่
• เราสามารถตัดเครื่องหมายการคูณทิ้งได้ด้วย โดยใช้การเขียนติดกันแทน
• 0_V เราจะใช้ตัวหนาเขียนแทน เป็น 0 เพื่อให้ สามารถเขียน 0 และ 1 แทน 0_F และ 1_F ได้ ตามลำดับ
• เขียนแทน a + (-b) ด้วย a - b เพื่อให้สั้นลง
• เขียนแทน a(1/b) ด้วย a/b เพื่อให้สั้นลง
• เมื่อไม่เขียนวงเล็บ ให้คิดการคูณก่อนการบวก และคิดจากซ้ายไปขวาเสมอ
• ตัวแปรที่เป็นสมาชิกของ V จะเขียนด้วยตัวหนา
  

การแปลงเชิงเส้น (Linear Transformation)

ถ้า f:V → W เป็นการแปลงเชิงเส้น (Linear Transformation) และ V กับ W เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งมีฟิลด์ของสัมประสิทธิ์เดียวกันคือ F

• สำหรับ x ∈ A และ y ∈ A ทุกตัว: f(x + y) = f(x) + f(y) ∈ B
  
• สำหรับ x ∈ A และ c ∈ F: f(cx) = cf(x) ∈ B
  

สิ่งที่รู้ทันที คือ

f(0_V) = 0_W

เราก็เลย เขียนว่า 0 เฉย ๆ ได้ พิสูจน์ได้ ไม่ยากหรอก

Kernel และ Image

เมื่อไหร่ที่เราพูดถึง homomorphism (และ linear transformation) จะต้องมีคำศัพท์ที่เรายุ่งด้วย 2 คำ คือ Kernel และ Image เสมอ ๆ

kernel ของ f = { x ∈ V | f(x) = 0 }
image ของ f = { f(x) | x ∈ V }

ความจริงที่สิ่งสำคัญมาก ๆ อย่างนึงก็คือ kernel ของ f เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ย่อย (Vector Subspace) ของ V ซึ่งก็คือ ถ้าเราเอา kernel ของ f ไปใส่แทน V ในเงื่อนไขต่าง ๆ ของปริภูมิเวกเตอร์ ที่เขียนไว้ข้างบน มันก็จะเป็นจริงทั้งหมดเช่นกัน

ตัวอย่าง: ให้ K = kernel ของ f

x, y ∈ K ⇒ f(x) = f(y) = 0
ดังนั้น f(x + y) = 0 + 0 = 0
แสดงว่า x + y ∈ K ด้วย

เงื่อนไขอื่น ๆ ก็พิสูจน์ได้ด้วยวิธีคล้าย ๆ กัน

Quotient Subspaces

เนื่องจาก ปริภูมิเวกเตอร์ มีคุณสมบัติการสลับที่การบวก ดังนั้น เราอาจจะมองว่า (V, +) เป็น กรุปอาบีเลียน (Abelian Group) ซึ่ง คุณสมบัตินี้ ทำให้ กรุปย่อย (Subgroup) ทุกอันของ V เป็น กรุปย่อยปกติ (Normal Subgroup) ด้วย (ใครอ่านอันนี้ไม่รู้เรื่อง ช่างมันไปก่อน)

ผลก็คือ เราจะสามารถหา coset (ไม่ต้องไปสนชื่อมันก็ได้) ต่อไปนี้ได้

q(x) = { k + x | k ∈ K }
เมื่อ x ∈ V

เพื่อความสะดวก เราจะเขียนแทน q(x) ด้วยสัญลักษณ์นี้

q(x) = K + x

คราวนี้ ถ้าเรานิยามการบวกและคูณ สำหรับ q(x) ต่าง ๆ ใหม่ แบบนี้

(K + x) + (K + y) = K + (x + y)
c(K + x) = K + cx

และให้เอกลักษณ์ของการบวก คือ

K + 0 = 0_K = K

เราจะพิสูจน์ได้ว่า เซตของ q(x) และเครื่องหมายบวกกับคูณแบบใหม่นี้ ก็เป็นปริภูมิเวกเตอร์เช่นกัน เรามักจะเขียนเซตของ q(x) ทั้งหมด ว่า V/K

Isomorphisms

Isomorphism ของ ปริภูมิเวกเตอร์ ก็คือ การแปลงเชิงเส้นที่มีคุณสมบัติ 1-1 และทั่วถึงน่ะแหละ

ปริภูมิเวกเตอร์ A และ B จะ Isomorphic กัน ก็ต่อเมื่อ มี isomorphism จาก A ไป B

ที่อยากจะบอกก็คือ V/K เนี่ย isomorphic กับ image ของ f นะ

พิสูจน์ยังไงน่ะหรอ? เราก็สร้าง isomorphism φ ขึ้นมาอันนึง แบบนี้

φ(K + x) = f(x)

คราวนี้ เราจะบอกว่า φ มันมีคุณสมบัติ 1-1 ได้โดย

สมมติว่า φ(K + x) = φ(K + y)
แสดงว่า f(x) = f(y)
ซึ่งทำให้ f(x) - f(y) = 0
f(x - y) = 0 = φ(K + (x - y))
แต่จากนิยามของ K เมื่อ f(x - y) = 0 แสดงว่า x - y ∈ K = 0_K
ทำให้ K + (x - y) = 0_K
(K + x) - (K + y) = 0_K
K + x = K + y

การพิสูจน์ว่า φ มีคุณสมบัติทั่วถึง จะง่ายกว่า คือทำแบบนี้

สมมติว่า y ∈ image ของ f
เราจะรู้ว่า ต้องมี x ∈ V ที่ทำให้ f(x) = y
ดังนั้น K + x ∈ V/K จะทำให้ φ(K + x) = y แน่นอน

คุณสมบัติอื่น ๆ ไม่พูดถึงแล้วนะ ไปพิสูจน์กันเอาเอง

Cardinal Numbers

สมมติว่า W = image ของ f เราจะรู้สิ่งที่สำคัญมาก ๆ ก็คือ

|V| = |K| × |W| = |K| × |V/K|

เมื่อ | ... | หมายถึง cardinal number

Dimensions

ใครที่เรียน linear algebra คงพอจะรู้ว่า dimension คืออะไรนะ

ยกตัวอย่างคร่าว ๆ ละกัน

dim R = 1
dim R² = 2
dim R³ = 3
...
dim Rⁿ = n

dim span( { (1, 1), (1, 0) } ) = 2
dim span( { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) } ) = 3
dim span( { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1) } = 2
dim span( { (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3) } = 1

จะว่าไป dimension มันก็ คล้าย ๆ กับ เอาขนาดของเซต ใส่ log ฐาน c = |R| เลย ... เราก็เลยได้ความสัมพันธ์คล้าย ๆ กัน แบบนี้

จาก |V| = |K| × |W|

ใส่ log_c เมื่อ c = |R| เข้าไปทั้งสองข้าง จะได้

log_c|V| = log_c(|K| × |W|)
log_c|V| = log_c|K| + log_c|W|

dim V = dim K + dim W