การยกกำลังกับจำนวนเชิงซ้อน

ก่อนเริ่ม

จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ สามารถเขียนในรูป

a + ib และ re^iθ

ได้ โดยที่ค่า a b r และ θ เป็นจำนวนจริง

ค่า θ สามารถมีได้หลายค่า เพราะว่า

e^iθ = cos θ + i sin θ

ดังนั้น

e^iθ = e^{i(θ + 2πn)}

สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ

ต่อไปนี้ จะให้ y กับ z เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง y = a + ib และ z = re^iθ และ x เป็นจำนวนจริงนะ

การยกกำลังจำนวนจริงด้วยจำนวนเชิงซ้อน

x^y = x^{a + ib} = x^a x^ib = x^a (e^{ln x})^ib = x^a e^{ib ln x}

ถ้าให้ x > 0 แล้ว f(a, b) = x^a e^{ib ln x} เป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 รึเปล่า?

คำตอบก็คือ "ไม่" ...

เหตุผลแรก ... ถ้า x = 1 เราจะเห็นว่า x^a = 1 เสมอ ไม่ว่า a จะเป็นอะไร ดังนั้น f(a, b) จะเท่ากันสำหรับทุกค่า a

แล้วถ้าเพิ่มเงื่อนไขให้เป็น x ∈ R⁺ - { 1 } หละ?

ก็ยังไม่ได้อยู่ดี เพราะว่า e^{ib ln x} = e^{i(b ln x + 2πn)} ดังนั้น

ถ้าให้ b' ln x = b ln x + 2πn
b' = b + 2πn / ln x
e^{ib ln x} = e^{ib' ln x}

จะเห็นว่า สามารถทำให้ f(a, b') = f(a, b) ได้โดยที่ b' ≠ b

งั้น ... ถ้าเราเพิ่มอีกเงื่อนไขนึง คือ b ln x ∈ [0, 2π) หละ?

f(a, b) ก็จะเป็นฟังก์ชัน 1 ต่อ 1 แล้ว!

การยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง

z^x = (re^iθ)^x = r^xe^iθx

f(x) = z^x อาจจะไม่เป็นฟังก์ชันนะ!

ทำไมน่ะเหรอ? ... ก็ เพราะว่า e^iθ = e^{i(θ + 2πn)} หนิ ลองเอาไปแทนใหม่ดู

f(x) = z^x = (re^{i(θ + 2πn)})^x = r^xe^{i(θx + 2πnx)}

พอเป็นหยั่งงี้ มันก็เริ่มดูเพี้ยน ๆ แล้วหละ ... z^x มีได้หลายค่า ขึ้นอยู่กับ n ... f(x) ไม่ใช่ฟังก์ชันแล้ว!

จริง ๆ มันก็ไม่แปลกเท่าไหร่นะ ... ก็ ตอนเราหาคำตอบของสมการ z² = 1 เรายังได้คำตอบ 2 ค่าเลยหนิ

แล้วเมื่อไหร่ f(x) จะเป็นฟังก์ชันหละ?

• ถ้า x เป็นจำนวนเต็ม → nx เป็นจำนวนเต็ม
• พอ nx เป็นจำนวนเต็มแล้ว → g(x) = e^{i(θx + 2πnx)} มีได้ค่าเดียว ก็เลยเป็นฟังก์ชัน
• เนื่องจาก f(x) = r^xg(x) และ g(x) เป็นฟังก์ชัน → f(x) เป็นฟังก์ชัน

นี่ก็แปลว่า ถ้าให้ x เป็นจำนวนเต็ม z^x จะเป็นฟังก์ชัน นั่นเอง

แต่ เพื่อให้เขียนสะดวก เรามักจะสมมติให้ z^x เป็นฟังก์ชัน โดยเพิ่มข้อกำหนดอีกแบบเข้าไปเลย คือ

z = re^iθ เมื่อ 0 ≤ θ < 2π
และ z^x = r^xe^ixθ

ค่าของ iⁱ

เนื่องจาก i = e^iπ/2 ดังนั้น

iⁱ = (e^iπ/2)ⁱ = e^-π/2

อ๊ะ ... iⁱ = e^-π/2 = 0.207879576... !!!

ไม่ใช่ิสิ :P ... อย่าลืมว่า จริง ๆ แล้ว i = e^{i(π/2 + 2πn)} เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ... คิดใหม่แบบติด n ก็จะได้

iⁱ = (e^{i(π/2 + 2πn)})ⁱ = e^{-π/2 - 2πn}

iⁱ ก็เลยมีได้หลายค่า ... แต่ทุกค่า เป็นจำนวนจริงนะ!

การยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน

คราวนี้ มาลองหาค่า z^y กัน ...

z^y = (re^iθ)^{a + ib} = [r^a r^ib] (e^iθ)^{a + ib}
z^y = [r^a e^{ib ln r}] (e^{i(θ + 2πm)})^{a + ib}
z^y = r^a e^{i(b ln r + 2πn)} e^{i(θa + 2πma)} e^{-θb - 2πmb}
z^y = [r^ae^{-θb - 2πmb}] e^{i(b ln r + θa + 2πma + 2πn)}

จะเห็นว่า ค่าของ z^y จะมีได้หลายค่า อยากที่คาดเอาไว้ แต่คราวนี้ มีตัวแปรอิสระถึง 2 ตัว คือ m กับ n

ดังนั้น ถ้าเป็นไปได้ ก็ไม่ควรเอาจำนวนเชิงซ้อนมายกกำลังกันนะ :D