การแปลงฐานเลข - จำนวนเต็ม

คราวที่แล้ว พูดถึง d_n กับ s ไปแล้ว เราก็รู้แล้วหละ ว่าค่าของเลขในระบบฐานต่าง ๆ กัน มันคิดยังไง คราวนี้เราจะมาดูการแปลงกลับมั่งนะ

ในตอนนี้ จะพูดถึงกรณีที่ไม่มีทศนิยม (จำนวนเต็ม) อย่างเดียวก่อน ...

สมมติว่าเรามีค่า X อยู่

เราอยากรู้ว่า ในระบบเลขฐาน n เราจะหาค่า s(i) ต่าง ๆ ได้ยังไง ... ความสัมพันธ์ของ X กับ s ก็คือ

X = Σ_i≥0 s(i) nⁱ

เริ่มต้นโดย หาค่า s(0) ก่อน โดยพิจารณาที่ mod n

X ≡ Σ_i≥0 s(i) nⁱ (mod n)
X ≡ s(0) (mod n)

ถ้าเราให้ s(i) ทุกตัวอยู่ในช่วง 0 ถึง n - 1 เราจะรู้ทันทีว่า s(0) = X mod n

พอรู้แล้ว เราก็เอา s(0) ลบออกจากสองข้างของสมการตั้งต้น ได้เป็นแบบนี้

X - s(0) = Σ_i≥1 s(i) nⁱ = n Σ_i≥0 s(i + 1) nⁱ

แสดงว่า ทั้งสองข้างของสมการ หารด้วย n ลงตัว ... เราก็หารซะ

(X - s(0)) / n = Σ_i≥0 s(i + 1) nⁱ

พิจารณาที่ mod n อีกครั้ง เราจะเห็นว่า

(X - s(0)) / n ≡ Σ_i≥0 s(i + 1) nⁱ (mod n)
(X - s(0)) / n ≡ s(1) (mod n)

เราก็จะสรุปได้ว่า s(1) = [(X - s(0)) / n] mod n

สังเกตว่า ถ้าเราทำซ้ำไปเรื่อย ๆ เราก็จะหา s(i) ได้ทั้งหมด

จะว่าไป ... มันก็มีส่วนคล้าย ๆ Taylor Series กับ Newton Polynomial นะเนี่ย (ลองดู Discrete vs Continuous: Taylor Series และ Newton Polynomial สิ)