เลขฐาน - มันเป็นไงในคณิตศาสตร์

คราวนี้ ขอเปิดตัวเรื่องใหม่ ที่สามารถเขียนตอนละสั้น ๆ ได้ :P

ก็ ... ไหน ๆ ผมก็จะเรียน Computer Science อยู่แล้ว เริ่มสังเกตว่า ... ทำไมไม่ค่อยเขียนเรื่องคอมพิวเตอร์มั่งเลย!!!

ตอนนี้เลยขอเริ่มล่ะนะ ... เกริ่นเรื่องเลขฐานก่อน

ระบบเลขฐาน n

เลขโดดในระบบเลขฐาน n คือ 0, 1, 2, ..., n - 1 เช่น

ในระบบเลขฐาน 2 เราจะมีเลขโดด 2 ตัว คือ 0 กับ 1

ในระบบเลขฐาน 16 เราจะมีเลขโดด 16 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 และ 15

ความนิยม ... ตัว A B C D E F

ก็ไม่มีอะไรหรอก เพียงแต่ว่า เวลาเค้าเขียนเลขฐาน 16 กัน มันจะสะดวกกว่า ถ้าให้

A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

เพราะเวลาเขียนจริง ๆ มันใช้เนื้อที่หลักเดียว ... เราไม่ต้องมาคอยเว้นวรรค เพื่อให้มันชัดเจน เช่น

"10 15 2"

ก็จะกลายเป็น

"AF2"

ทำให้เขียนได้สั้นลง

ค่าประจำหลัก

เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน เราจะเขียนค่าประจำหลักที่ i ว่า d_n(i) โดยที่

d_n(i) = nⁱ

ดังนั้น ค่าประจำหลักที่ 0 ก็คือ 1 ไม่ว่า n จะเป็นเท่าไหร่

ตัวเลข

เราจะมองตัวเลขที่เราเขียน ๆ กัน เป็นฟังก์ชันของเลขหลัก ชื่อว่า s(i) แบบนี้

ถ้าเขียน s = "123" จะแปลว่า
s(0) = 3
s(1) = 2
s(2) = 1
s(อื่น ๆ) = 0

ถ้าเขียน s = "2.345" จะแปลว่า

s(0) = 2
s(-1) = 3
s(-2) = 4
s(-3) = 5
s(อื่น ๆ) = 0

ค่าจริง ๆ ของตัวเลข

ค่าจริง ๆ ของตัวเลข s บนฐาน n ก็คือ

Σ_i∈Z s(i) d_n(i)

ซึ่ง ... ถ้ามอง s กับ d_n เป็นเวกเตอร์ มันก็คือ

s ⋅ d_n

นั่นเอง